リアプノフ(候補)関数の定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/07 10:10 UTC 版)
「リアプノフ関数」の記事における「リアプノフ(候補)関数の定義」の解説
V : R n → R {\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } を連続微分可能な実数値関数とする。 V {\displaystyle V} が、原点 0 {\displaystyle 0} において局所的に正値関数である場合、リアプノフ候補関数と呼ぶ。ここで、 V {\displaystyle V\ } が原点において局所的に正値関数であるとは、 0 {\displaystyle 0} のある近傍 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} において、 V ( 0 ) = 0 {\displaystyle V(0)=0\,} V ( x ) > 0 ∀ x ∈ B ∖ { 0 } {\displaystyle V(x)>0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}\setminus \{0\}} が成り立つこととする。 V {\displaystyle V} が正値関数であるという条件は、 lim x → 0 V ( x ) | x | ≥ 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {V(x)}{|x|}}\geq 0} ということを保証する。なぜならば、この値が負になるためには、 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 内に V ( x ) < 0 {\displaystyle V(x)<0\ } となる点 x {\displaystyle x\ } が存在しなければ不可能だからである。一方、 V ( x ) = | x | 2 {\displaystyle V(x)=|x|^{2}\ } とおけば確かに V ( x ) {\displaystyle V\ (x)} は原点において局所的に正値関数であるが、 lim x → 0 V ( x ) | x | = 0 {\displaystyle \textstyle \lim _{x\to 0}{\frac {V(x)}{|x|}}=0} となるので、上式の値が 0 {\displaystyle 0} の場合もあり得ることが分かる。 また、 x ˙ = f ( x ) {\displaystyle {\dot {x}}=f(x)\,} を原点に平衡点を持つ自励系とし、 V {\displaystyle V\ } をその自励系の原点についてのリアプノフ候補関数とすると、自励系の任意の解 x ( t ) {\displaystyle x(t)\ } に沿って(以降、パラメーター t {\displaystyle t\ } を時刻と見なすこととする) V ( x ( t ) ) {\displaystyle V(x(t))\ } の時間微分は次のようになる。 V ˙ ( x ( t ) ) = ∂ V ∂ x ⋅ d x ( t ) d t = ∇ V ⋅ x ˙ ( t ) = ∇ V ⋅ f ( x ( t ) ) {\displaystyle {\dot {V}}(x(t))={\frac {\partial V}{\partial x}}\cdot {\frac {dx(t)}{dt}}=\nabla V\cdot {\dot {x}}(t)=\nabla V\cdot f(x(t))} 自励系であれば V ˙ {\displaystyle {\dot {V}}} の値は t {\displaystyle t\ } に無関係に x {\displaystyle x\ } だけで決まるので、 V ˙ {\displaystyle {\dot {V}}} を x {\displaystyle x\ } の関数と見なして良いことを注意しておく。 リアプノフ候補関数がさらに下記に述べるような諸条件を満たす場合、リアプノフ関数と呼ぶ。
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