モデルの基本と選択
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/05/02 07:30 UTC 版)
このモデルが超楕円曲線を記述することに最も単純な方法であるときに、そのような方程式は射影平面では無限遠点で特異点をもつことになる。この様子は n > 4 のときには特別になる。従って、非特異曲線を指定するそのような方程式を与えることは、ほとんど常に、非特異モデル（滑らかな完備化（英語版）(smooth completion)とも言う）と、双有理幾何学の意味で同値となることを意味する。 さらに詳しくは、方程式は、C(x) の二次拡大を定義し、函数体となることを意味している。無限遠点での特異点は、正規化（整閉(integral closure)）の過程により、（曲線であるために、）除去される。特異点を除去した後は、2つのアフィンチャートにより曲線の開被覆が存在する。2つのチャートの内のひとつは、 y 2 = f ( x ) {\displaystyle y^{2}=f(x)} w 2 = v 2 g + 2 f ( 1 / v ) {\displaystyle w^{2}=v^{2g+2}f(1/v)} により与えられる。 2つのチャートを貼り合わせる写像は、 ( x , y ) ↦ ( 1 / x , y / x g + 1 ) {\displaystyle (x,y)\mapsto (1/x,y/x^{g+1})} ( v , w ) ↦ ( 1 / v , w / v g + 1 ) {\displaystyle (v,w)\mapsto (1/v,w/v^{g+1})} により、これらが定義されるところはどこでも定義される。 実際、幾何学的に端的に言うと、曲線 C は射影平面の分岐する二重被覆として定義されていることを前提としており、分岐は f の根で発生し、無限遠点では奇数の n に対しても発生する。このように、射影直線の自己同型を使い、分岐を無限遠点から移動することにより、n が 2g + 1 と 2g + 2 の場合は統一することができる。
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