フビニ・スタディ計量
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/23 08:58 UTC 版)
この節では体 K は複素数体 C であるとする。Cn+1 ∖ {\displaystyle \setminus } {0} 上の (1,1)-型式 ω ~ = − 1 2 ∂ ∂ ¯ log ( z 0 z ¯ 0 + ⋯ + z n z ¯ n ) {\displaystyle {\tilde {\omega }}={\frac {\sqrt {-1}}{2}}\partial {\bar {\partial }}\log(z_{0}{\bar {z}}_{0}+\cdots +z_{n}{\bar {z}}_{n})} は C× の作用で不変であるので、CPn 上の (1,1)-型式 ω を誘導する。点 [1 : 0 : ... : 0] のまわりの局所座標 [1 : w1 : ... : wn] でこれを展開して wi = 0 を代入すると ω | w = 0 = − 1 2 ∑ d w i ∧ d w ¯ i {\displaystyle \omega {\big |}_{w=0}={\frac {\sqrt {-1}}{2}}\sum dw_{i}\wedge d{\bar {w}}_{i}} となるので、ω に対応するエルミート型式 h はこの点で正値である、すなわちエルミート計量である。しかし ω、従ってそれに付随するエルミート型式はユニタリ群 U(n + 1) のCn+1 \ {0}への、従ってCPn への推移的な作用で不変であることから、h は CPn 上のエルミート計量を定める。更に ω は定義から明らかに閉型式であるので、h はケーラー計量 (Kähler metric) である。この CPn 上の計量を フビニ・スタディ計量 (Fubini-Study metric) と呼ぶ。また、上の記述から射影空間 CPn はフビニ・スタディ計量に関して正則断面曲率が正の定曲率を持つ多様体である事がわかる。
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