ファブリ・ペロー共振器の掃引: エアリー線幅とエアリーフィネス
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/10 08:13 UTC 版)
「ファブリ・ペロー干渉計」の記事における「ファブリ・ペロー共振器の掃引: エアリー線幅とエアリーフィネス」の解説
ファブリ・ペロー共振器を掃引干渉計として用いる場合、つまり共振器の長さ（もしくは入射角）を掃引しつつ用いるとき、ある自由スペクトル領域内のいくつかのピークを光学上見わけることができる。複数の周波数に対応するそれぞれのエアリー分布 A′trans(ν) を分解する必要がある。したがって、この場合はエアリー分布が構成関数となり、観測されるのはいくつものエアリー分布の総和となる。この状況を適切に定量するために用いられるべきパラメータはエアリー線幅 ΔνAiry とエアリーフィネス ℱAiry である。エアリー分布 A′trans(ν) の半値全幅 ΔνAiry は以下のように計算される。 Δ ν Airy = Δ ν FSR 2 π ( 1 − R 1 R 2 2 R 1 R 2 4 ) {\displaystyle \Delta \nu _{\text{Airy}}=\Delta \nu _{\text{FSR}}{\frac {2}{\pi }}\left({\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}}\right)} エアリー線幅 ΔνAiry は、線幅とフィネスに関する上図においては緑線で表わされている。 ΔνAiry = ΔνFSR のとき（エアリー分布 A′trans の図における赤実線）よりも反射率 R1R2 が低い場合、エアリー分布のピークに半値全幅を定義できなくなる。限界点は次が成り立つときである。 Δ ν A i r y = Δ ν F S R ⇒ 1 − R 1 R 2 2 R 1 R 2 4 = 1 ⇒ R 1 R 2 ≈ 0.02944 {\displaystyle \Delta \nu _{Airy}=\Delta \nu _{FSR}\Rightarrow {\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}}=1\Rightarrow R_{1}R_{2}\approx 0.02944} 二つの鏡の反射率が等しい場合、これは R1 = R2 ≈ 17.2% のときに相当する（エアリー分布 A′trans の図における赤実線）。 ファブリ・ペロー共振器のエアリー分布のフィネスは線幅とフィネスに関する上図においては右のグラフに緑線で、青線のローレンツィアンフィネス ℱc と共に表わされている。これは次のように定義される。 F A i r y = Δ ν F S R Δ ν A i r y = π 2 [ arcsin ( 1 − R 1 R 2 2 R 1 R 2 4 ) ] − 1 {\displaystyle {\mathcal {F}}_{Airy}={\frac {\Delta \nu _{FSR}}{\Delta \nu _{Airy}}}={\frac {\pi }{2}}\left[\arcsin \left({\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{2{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}}\right)\right]^{-1}} ファブリ・ペロー共振器の長さ（もしくは入射角）を掃引する際、エアリーフィネスは自由スペクトル領域内に個々の周波数 νm に対応するエアリー分布が、隣同士の半値全幅が重ならず、分光学上曖昧さなく区別できるようにいくつ入れるかの最大数を表わす（エアリーフィネスの意味に関する右図を参照）。この定義は分光器の分解能に関するテイラーの基準と整合する。半値全幅は Δ ν A i r y = Δ ν F S R {\displaystyle \Delta \nu _{Airy}=\Delta \nu _{FSR}} において定義できなくなるので、エアリーフィネスは F A i r y = 1 {\displaystyle {\mathcal {F}}_{Airy}=1} までしか定義できない（上図参照）。 A′trans からエアリー線幅 ΔνAiry を導く際、sin(φ) ≈ φ とする不必要な近似がよく用いられる。先述の厳密解とは異なり、この近似式は以下のようになる。 Δ ν A i r y ≈ Δ ν F S R 1 π 1 − R 1 R 2 R 1 R 2 4 ⇒ F A i r y = Δ ν F S R Δ ν A i r y ≈ π R 1 R 2 4 1 − R 1 R 2 . {\displaystyle \Delta \nu _{Airy}\approx \Delta \nu _{FSR}{\frac {1}{\pi }}{\frac {1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}{\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}}\Rightarrow {\mathcal {F}}_{Airy}={\frac {\Delta \nu _{FSR}}{\Delta \nu _{Airy}}}\approx \pi {\frac {\sqrt[{4}]{R_{1}R_{2}}}{1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}}.} 上図では赤線で表わしたこの近似式は、低反射率領域において正しい曲線と解離し、 Δ ν A i r y > Δ ν F S R {\displaystyle \Delta \nu _{Airy}>\Delta \nu _{FSR}} においても破綻しない。この近似はエアリーフィネスを計算する場合にも用いられることが多い。
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