パリティシーケンス（偶奇列）
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/15 02:21 UTC 版)
「コラッツの問題」の記事における「パリティシーケンス（偶奇列）」の解説
本節では、コラッツ関数を少し変形したものを考える： f ( n ) = { n / 2 if n ≡ 0 ( 3 n + 1 ) / 2 if n ≡ 1 ( mod 2 ) . {\displaystyle f(n)={\begin{cases}n/2&{\text{if }}n\equiv 0\\(3n+1)/2&{\text{if }}n\equiv 1\end{cases}}{\pmod {2}}.} nが奇数の場合には3n + 1が必ず偶数になるので上記のようにできる。 P(…)をパリティ数とする。P(2n) = 0 で、P(2n + 1) = 1 である。整数nのパリティシーケンス（もしくは、パリティベクトル）を、pi = P(ai), ただしa0 = n, and ai+1 = f(ai)と定義する。(3n + 1)/2 または n/2、どちらの操作が適用されるかは、パリティに依存する。パリティシーケンスはfによる操作の場合分けに等しい。f(n)に対してこの形式を適用すると、２つの整数m とnのパリティシーケンスは、m とnが2kを法として合同の場合のみ、最初のk項で一致するこが示される。これは、すべての整数がパリティシーケンスにより一意に識別されること意味し、さらに複数のコラッツ数列がある場合、対応するパリティシーケンスが異なる必要があることを意味する。 n=a·2k + b に関数 f を k 回適用すると、a·3c + dとなる。ここでdはbに関数fをk回適用した結果で、cはその過程で3倍の演算を行った（増加した）回数である。（例えば、a·25 + 1 では、1が2,1,2,1と変化し最後に2になるので、3回の増加がある。よって結果はa·33+2 である。a·22 + 1 では、1が2に増加しその後1になるので、結果はa·3 + 1 となる。） bが2k - 1の場合には、 k回の増加があり、結果は2·a·3k - 1となる。aに掛かる係数は、aには無関係で、bにのみ依存する。これにより、特定の形式の数値が特定の反復回数の後、常により小さい数値になることを予測できます。例えば、4a + 1 は、2回のf操作により3a + 1となり、16a + 3は4回のf操作により9·a + 2となる。これらの小さくなった数が1へとつながるかどうかは、 aの値に依存する。
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