この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。(このテンプレートの使い方 ) 出典検索? : "くし型関数" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2013年4月 )
周期 T のくし型関数。 くし型関数 (くしがたかんすう、英 : comb function )は、デルタ関数 を一定の間隔で並べた超関数 。
comb T ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ δ ( x − n T ) . {\displaystyle \operatorname {comb} _{T}(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT).} ここで T は周期、δ はデルタ関数である。
様々な呼称があり、キリル文字 の “Ш " の形に似ているためシャー関数 (shah function )、あるいは関数の性質から周期的デルタ関数 とも呼ばれる。
くし型関数を通常の関数と見た場合、デルタ関数と同様、以下のように振る舞う。
comb T ( x ) = { ∞ ( x = n T ) 0 ( x ≠ n T ) . {\displaystyle \operatorname {comb} _{T}(x)={\begin{cases}\infty &(x=nT)\\0&(x\neq nT)\end{cases}}.} 連続関数 との積を取ることにより、一定間隔で離散化 (サンプリング )した数値列を得ることができるわけではない(クロネッカーのデルタ 関数と混同しないこと)。 連続関数と積を取った後、積分 を行うことで、積分を一定間隔値の無限和 に変換する性質を持つ。サンプラーのモデルとしても扱われる。
特徴 くし型関数のフーリエ変換 はくし型関数になる[1] 。
F ( δ T ) = 2 π T comb 2 π T ( ω ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(\delta _{T})={\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\operatorname {comb} _{\frac {2\pi }{T}}(\omega )} ただしフーリエ変換すると周期が T から 2π / T になる。 なお当然のことながら、積分を使わない離散フーリエ変換 をくし型関数に定義することはできない。
以下のポアソン和公式 が成り立つ[1] :
1 T comb ( x T ) = ∑ n = − ∞ ∞ δ ( x − n T ) = 1 T ∑ m = − ∞ ∞ exp ( 2 π i m x T ) {\displaystyle {\frac {1}{T}}\operatorname {comb} \left({\frac {x}{T}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)={\frac {1}{T}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }\exp \left({\frac {2\pi imx}{T}}\right)} 参考文献