2次元格子点のフーリエ変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/19 00:21 UTC 版)
「逆格子ベクトル」の記事における「2次元格子点のフーリエ変換」の解説
3次元実空間中にある無限に続く2次元格子点は、次のように表される。 r = n 1 a 1 + n 2 a 2 ( n 1 , n 2 = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ ) {\displaystyle \mathbf {r} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}\quad (n_{1},n_{2}=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )} これをフーリエ変換すると、波数空間では2次元的に規則正しく並んだ無限に長いロッドになり、次の式で表される。 k ⋅ a 1 = 2 π m 1 {\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{1}=2\pi m_{1}} k ⋅ a 2 = 2 π m 2 ( m 1 , m 2 = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ ) {\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{2}=2\pi m_{2}\quad (m_{1},m_{2}=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )} これを逆格子ロッドと呼び、結晶表面の構造解析でよく用いられる。 証明2次元格子を、くし型関数を用いて次のように表す。 ∑ n 1 = − ∞ ∞ ∑ n 2 = − ∞ ∞ δ 3 ( r − n 1 a 1 − n 2 a 2 ) ( n 1 , n 2 = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ ) {\displaystyle \sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }\delta ^{3}(\mathbf {r} -n_{1}\mathbf {a} _{1}-n_{2}\mathbf {a} _{2})\quad (n_{1},n_{2}=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )} これは上述の点列の畳み込みであることが分かる。つまり畳み込みを記号 ∗ {\displaystyle *} で表すとすると、 ∑ n 1 = − ∞ ∞ ∑ n 2 = − ∞ ∞ δ 3 ( r − n 1 a 1 − n 2 a 2 ) = [ ∑ n 1 = − ∞ ∞ δ 3 ( r − n 1 a 1 ) ] ∗ [ ∑ n 2 = − ∞ ∞ δ 3 ( r − n 2 a 2 ) ] ( n 1 , n 2 = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ ) {\displaystyle \sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }\delta ^{3}(\mathbf {r} -n_{1}\mathbf {a} _{1}-n_{2}\mathbf {a} _{2})=\left[\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\delta ^{3}(\mathbf {r} -n_{1}\mathbf {a} _{1})\right]*\left[\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }\delta ^{3}(\mathbf {r} -n_{2}\mathbf {a} _{2})\right]\quad (n_{1},n_{2}=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )} よって上述の点列のフーリエ変換の結果と畳み込みの性質より、2次元格子のフーリエ変換は2つの平面列の積であることがわかる。 ∫ − ∞ ∞ ( ∑ n 1 = − ∞ ∞ ∑ n 2 = − ∞ ∞ δ 3 ( r − n 1 a 1 − n 2 a 2 ) ) e − i k ⋅ r d r {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }\delta ^{3}(\mathbf {r} -n_{1}\mathbf {a} _{1}-n_{2}\mathbf {a} _{2})\right)e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }d\mathbf {r} } = ( 2 π ) 2 ∑ m 1 = − ∞ ∞ ∑ m 2 = − ∞ ∞ δ 3 ( k ⋅ a 1 − 2 π m 1 ) δ 3 ( k ⋅ a 2 − 2 π m 2 ) ( m 1 , m 2 = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ ) {\displaystyle =(2\pi )^{2}\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }\delta ^{3}(\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{1}-2\pi m_{1})\delta ^{3}(\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{2}-2\pi m_{2})\quad (m_{1},m_{2}=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )} 2つの平面が重なる部分は直線（無限に長いロッド）になる。よってこれは無限に長いロッドが二次元的に並んだものである。
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