クライン-ゴルドン場との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/03/15 11:06 UTC 版)
「シュレーディンガー場」の記事における「クライン-ゴルドン場との関係」の解説
クライン-ゴルドン場の非相対論的限界 c → ∞ {\displaystyle c\to \infty } は、粒子と反粒子を表す2つのシュレーディンガー場である。 これを明確にするために、この派生ではすべての単位と定数が保ちながら導出を行う。相対論的な場の 運動量空間での 消滅演算子 a ^ p , b ^ p {\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {b}}_{\mathbf {p} }} から、以下のものを定義する。 a ^ ( x ) = ∫ d Ω p a ^ p e − i p ⋅ x , b ^ ( x ) = ∫ d Ω p b ^ p e − i p ⋅ x {\displaystyle {\hat {a}}(x)=\int d\Omega _{\mathbf {p} }{\hat {a}}_{\mathbf {p} }e^{-ip\cdot x},\quad {\hat {b}}(x)=\int d\Omega _{\mathbf {p} }{\hat {b}}_{\mathbf {p} }e^{-ip\cdot x}} 、 ただし ϕ ^ ( x ) = a ^ ( x ) + b ^ † ( x ) {\displaystyle {\hat {\phi }}(x)={\hat {a}}(x)+{\hat {b}}^{\dagger }(x)} とする。 2つの「非相対論的」場 A ^ ( x ) {\displaystyle {\hat {A}}(x)} 、 B ^ ( x ) {\displaystyle {\hat {B}}(x)} は次のように定義する。 a ^ ( x ) = e − i m c 2 t / ℏ 2 m c 2 A ^ ( x ) , b ^ ( x ) = e − i m c 2 t / ℏ 2 m c 2 B ^ ( x ) {\displaystyle {\hat {a}}(x)={\frac {e^{-imc^{2}t/\hbar }}{\sqrt {2mc^{2}}}}{\hat {A}}(x),\quad {\hat {b}}(x)={\frac {e^{-imc^{2}t/\hbar }}{\sqrt {2mc^{2}}}}{\hat {B}}(x)} 、 静止質量に加えて、相対論的尺度であるラグランジアン密度の痕跡により、急速に位相が振動する成分を除外する操作を考えることで L = ( ℏ c ) 2 ∂ μ ϕ ∂ μ ϕ † − ( m c 2 ) 2 ϕ ϕ † {\displaystyle L=(\hbar c)^{2}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi ^{\dagger }-(mc^{2})^{2}\phi \phi ^{\dagger }} は以下のようになる。 L = ( ℏ c ) 2 ( ∂ μ a ^ ∂ μ a ^ † + ∂ μ b ^ ∂ μ b ^ † + … ) − ( m c 2 ) 2 ( a ^ a ^ † + b ^ b ^ † + … ) = 1 2 m c 2 [ ( ℏ c ) 2 ( − i m c ℏ A ^ + ∂ 0 A ^ ) ( i m c ℏ A ^ † + ∂ 0 A ^ † ) − ( ℏ c ) 2 ∂ x A ^ ∂ x A ^ † + ( A ⇒ B ) + … − ( m c 2 ) 2 ( A ^ A ^ † + B ^ B ^ † + … ) ] = ℏ 2 2 m [ i m c ℏ ( ∂ 0 A ^ A ^ † − A ^ ∂ 0 A ^ † ) + ∂ μ A ^ ∂ μ A ^ † + ( A ⇒ B ) + … ] {\displaystyle {\begin{aligned}L&=(\hbar c)^{2}(\partial _{\mu }{\hat {a}}\partial ^{\mu }{\hat {a}}^{\dagger }+\partial _{\mu }{\hat {b}}\partial ^{\mu }{\hat {b}}^{\dagger }+\ldots )-(mc^{2})^{2}({\hat {a}}{\hat {a}}^{\dagger }+{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }+\ldots )\\&={\frac {1}{2mc^{2}}}\left[(\hbar c)^{2}({\frac {-imc}{\hbar }}{\hat {A}}+\partial _{0}{\hat {A}})({\frac {imc}{\hbar }}{\hat {A}}^{\dagger }+\partial ^{0}{\hat {A}}^{\dagger })-(\hbar c)^{2}\partial _{x}{\hat {A}}\partial ^{x}{\hat {A}}^{\dagger }+(A\Rightarrow B)+\ldots -(mc^{2})^{2}({\hat {A}}{\hat {A}}^{\dagger }+{\hat {B}}{\hat {B}}^{\dagger }+\ldots )\right]\\&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[{\frac {imc}{\hbar }}(\partial _{0}{\hat {A}}{\hat {A}}^{\dagger }-{\hat {A}}\partial ^{0}{\hat {A}}^{\dagger })+\partial _{\mu }{\hat {A}}\partial ^{\mu }{\hat {A}}^{\dagger }+(A\Rightarrow B)+\ldots \right]\end{aligned}}} ここで、 e ± 2 i m c 2 t / ℏ {\displaystyle e^{\pm 2imc^{2}t/\hbar }} 項は楕円で表され、非相対論的極限では消える。 4勾配を展開すると、全体の発散は無視され、 1 c {\displaystyle {\frac {1}{c}}} に比例する項はまた、非相対論的極限で消える。 これらの統合によって、 L A = i ℏ A ^ † A ^ ′ + ℏ 2 2 m [ 1 c 2 A ^ ′ A ^ ′ † − ∂ x A ^ ∂ x A ^ † ] = i ℏ A ^ † A ^ ′ + ℏ 2 2 m [ − ( ∂ x ( A ^ ∂ x A ^ † ) − A ^ ∂ x ∂ x A ^ † ) ] = i ℏ A ^ † A ^ ′ + ℏ 2 2 m A ^ ∂ x ∂ x A ^ † . {\displaystyle {\begin{aligned}L_{A}&=i\hbar {\hat {A}}^{\dagger }{\hat {A}}'+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[{\frac {1}{c^{2}}}{\hat {A}}'{{\hat {A}}'}^{\dagger }-\partial _{x}{\hat {A}}\partial ^{x}{\hat {A}}^{\dagger }\right]\\&=i\hbar {\hat {A}}^{\dagger }{\hat {A}}'+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[-(\partial _{x}({\hat {A}}\,\partial ^{x}{\hat {A}}^{\dagger })-{\hat {A}}\,\partial _{x}\partial ^{x}{\hat {A}}^{\dagger })\right]\\&=i\hbar {\hat {A}}^{\dagger }{\hat {A}}'+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\hat {A}}\,\partial _{x}\partial ^{x}{\hat {A}}^{\dagger }.\end{aligned}}} 最終的なラグランジアンの形式は以下のようになる。 L = 1 2 [ A ^ † ( i ℏ ∂ ∂ t + ℏ 2 ∇ 2 2 m ) A ^ + B ^ † ( i ℏ ∂ ∂ t + ℏ 2 ∇ 2 2 m ) B ^ + h.c. ] {\displaystyle L={\frac {1}{2}}\left[{\hat {A}}^{\dagger }(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\hbar ^{2}\nabla ^{2}}{2m}}){\hat {A}}+{\hat {B}}^{\dagger }(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\hbar ^{2}\nabla ^{2}}{2m}}){\hat {B}}+{\text{h.c.}}\right]}
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