クライン-ゴルドン方程式
クライン-ゴルドン方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/02/09 09:20 UTC 版)
「エネルギー演算子」の記事における「クライン-ゴルドン方程式」の解説
相対論的な質量とエネルギーの関係式（英語版）を考える： E 2 = ( p c ) 2 + ( m c 2 ) 2 {\displaystyle E^{2}=({\boldsymbol {p}}c)^{2}+(mc^{2})^{2}} ここで E は全エネルギー、p は粒子の全3次元運動量、m は不変質量、c は光速度である。この式から、シュレーディンガー方程式の場合と同様にして、クライン-ゴルドン方程式を得ることができる： E ^ 2 Ψ = c 2 p ^ 2 Ψ + ( m c 2 ) 2 Ψ {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {E}}^{2}\Psi =c^{2}{\hat {\boldsymbol {p}}}^{2}\Psi +(mc^{2})^{2}\Psi \\\end{aligned}}} ここで ^p は運動量演算子である。これは次のように書き直せる： ∂ 2 Ψ ∂ ( c t ) 2 = ∇ 2 Ψ − ( m c ℏ ) 2 Ψ {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial (ct)^{2}}}=\nabla ^{2}\Psi -\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\Psi } 更に、ダランベルシアン □ を用いると次のように書きなおせる。 [ ◻ − ( m c ℏ ) 2 ] Ψ = 0 {\displaystyle \left[\Box -\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\right]\Psi =0}
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