エアリーの応力関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/18 07:56 UTC 版)
「ジョージ・ビドル・エアリー」の記事における「エアリーの応力関数」の解説
吊り橋よりも剛性が高く移動荷重となる鉄道用に使える長支間橋梁構造として考え出された箱桁橋（英語版）の解析を通してエアリーは構造力学にも関与した。彼が提示した応力関数(en:Stress functions)は、その後精緻化され、二次元弾性問題の理論解析に寄与することになる。
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エアリーの応力関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/29 22:19 UTC 版)
平面応力状態における応力の平衡方程式は、外力が作用しない場合、次式となる： ∂ σ x ∂ x + ∂ τ x y ∂ y = 0 , ∂ τ x y ∂ x + ∂ σ y ∂ y = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial y}}=0,\\{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}=0.\end{aligned}}} これは、次の関係式を満たすエアリー（Airy）の応力関数φを導入することで自動的に満足される： σ x = ∂ 2 ϕ ∂ y 2 , σ y = ∂ 2 ϕ ∂ x 2 , τ x y = − ∂ 2 ϕ ∂ x ∂ y . {\displaystyle \sigma _{x}={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}},\quad \sigma _{y}={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}},\quad \tau _{xy}=-{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial y}}.} これを上記のフックの法則を用いてφとひずみとの関係式に書き直し、ひずみの適合条件式に代入することで、φの満たすべき条件式が次のように得られる： ∇ 4 ϕ = ∂ 4 ϕ ∂ x 4 + 2 ∂ 4 ϕ ∂ x 2 ∂ y 2 + ∂ 4 ϕ ∂ y 4 = ∇ 2 ( σ x + σ y ) = 0. {\displaystyle \nabla ^{4}\phi ={\frac {\partial ^{4}\phi }{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}\phi }{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}\phi }{\partial y^{4}}}=\nabla ^{2}(\sigma _{x}+\sigma _{y})=0.} これはφが重調和関数であり、主応力和（応力テンソルの第1不変量）が調和関数であることを示す。 複素解析の結果を用いると、応力関数は複素関数でも表現できる。この場合の応力関数をウェスターガード（Westergaard）の応力関数と呼ぶ。
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