適合条件式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/11 08:32 UTC 版)
ひずみテンソルは2階の対称テンソルであるため自由度が6であるが、元々の変数である変位の自由度は3であるから、ひずみ成分の間にはある関係が存在する。この関係式を適合条件式（equation of compatibility）という。 2 ∂ 2 ϵ 12 ∂ x 1 ∂ x 2 − ∂ 2 ϵ 11 ∂ x 2 2 − ∂ 2 ϵ 22 ∂ x 1 2 = 0 2 ∂ 2 ϵ 23 ∂ x 1 ∂ x 2 − ∂ 2 ϵ 22 ∂ x 3 2 − ∂ 2 ϵ 33 ∂ x 2 2 = 0 2 ∂ 2 ϵ 31 ∂ x 1 ∂ x 2 − ∂ 2 ϵ 33 ∂ x 1 2 − ∂ 2 ϵ 11 ∂ x 3 2 = 0 ∂ ∂ x 1 ( − ∂ ϵ 23 ∂ x 1 + ∂ ϵ 31 ∂ x 2 + ∂ ϵ 12 ∂ x 3 ) − ∂ 2 ϵ 11 ∂ x 2 ∂ x 3 = 0 ∂ ∂ x 2 ( ∂ ϵ 23 ∂ x 1 − ∂ ϵ 31 ∂ x 2 + ∂ ϵ 12 ∂ x 3 ) − ∂ 2 ϵ 22 ∂ x 3 ∂ x 1 = 0 ∂ ∂ x 3 ( ∂ ϵ 23 ∂ x 1 + ∂ ϵ 31 ∂ x 2 − ∂ ϵ 12 ∂ x 3 ) − ∂ 2 ϵ 33 ∂ x 1 ∂ x 2 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{11}}{\partial x_{2}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{22}}{\partial x_{1}^{2}}}=0\\&2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{23}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{22}}{\partial x_{3}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{33}}{\partial x_{2}^{2}}}=0\\&2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{31}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{33}}{\partial x_{1}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{11}}{\partial x_{3}^{2}}}=0\\&{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(-{\frac {\partial \epsilon _{23}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \epsilon _{31}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial \epsilon _{12}}{\partial x_{3}}}\right)-{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{11}}{\partial x_{2}\partial x_{3}}}=0\\&{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial \epsilon _{23}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial \epsilon _{31}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial \epsilon _{12}}{\partial x_{3}}}\right)-{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{22}}{\partial x_{3}\partial x_{1}}}=0\\&{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\left({\frac {\partial \epsilon _{23}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \epsilon _{31}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \epsilon _{12}}{\partial x_{3}}}\right)-{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{33}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}=0\end{aligned}}} あるいはまとめて ϵ i j , k l + ϵ k l , i j − ϵ j k , l i − ϵ l i , j k = 0 ( i , j , k , l = 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle \epsilon _{ij,kl}+\epsilon _{kl,ij}-\epsilon _{jk,li}-\epsilon _{li,jk}=0\quad (i,j,k,l=1,2,3)} とも表記される。 ひずみが適合条件式を満たし、変位場u が変位規定境界∂Ru における境界条件 u = u a , at ∂ R u {\displaystyle {\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {u}}^{a},\quad {\text{at}}\;\partial R_{u}} を満たすとき、その変位場u を運動学的に許容な場という。
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