各温度における黒体輻射のエネルギー密度の波長ごとのスペクトル
ウィーンの変位則 （ウィーンのへんいそく、英 : Wien's displacement law ）とは、異なる温度 の黒体 から輻射 される電磁波 のスペクトル を関係付ける法則である。1893年 にヴィルヘルム・ヴィーン によって導かれた。 なお、ヴィーンはドイツの物理学者であるため「ヴィーン」が正しい名称となるが、慣習的に英語読みのウィーンの変位則 と呼ばれることも多い。
温度 T で平衡にある空洞輻射が準静的 断熱圧縮 されたとき、熱力学第2法則 から黒体輻射のスペクトルを保ったまま圧縮され、圧縮後は新たな温度 T' での空洞輻射となる。 このとき輻射圧 p = u /3仕事 を行うので、圧縮比 を ε とすれば、エネルギー密度は
u
(
T
′
)
=
ϵ
4
/
3
u
(
T
)
{\displaystyle u(T')=\epsilon ^{4/3}u(T)}
に上昇する。 圧縮の前後でシュテファン＝ボルツマンの法則 u ∝ T 4
T
′
=
ϵ
1
/
3
T
{\displaystyle T'=\epsilon ^{1/3}T}
である。
一方、圧縮に伴うドップラー効果 により、波長 λ の輻射は波長が
λ
′
=
ϵ
−
1
/
3
λ
=
T
T
′
λ
{\displaystyle \lambda '=\epsilon ^{-1/3}\lambda ={\frac {T}{T'}}\,\lambda }
の輻射へと変化する。 空洞輻射の波長ごとの分光エネルギー密度を
u
λ
(
λ
;
T
)
{\displaystyle u_{\lambda }(\lambda ;T)}
u
λ
(
λ
′
;
T
′
)
d
λ
′
=
T
′
4
T
4
u
λ
(
λ
;
T
)
d
λ
{\displaystyle u_{\lambda }(\lambda ';T')\,d\lambda '={\frac {T'^{4}}{T^{4}}}\,u_{\lambda }(\lambda ;T)\,d\lambda }
u
λ
(
λ
′
;
T
′
)
=
T
′
5
T
5
u
λ
(
λ
;
T
)
{\displaystyle u_{\lambda }(\lambda ';T')={\frac {T'^{5}}{T^{5}}}\,u_{\lambda }(\lambda ;T)}
で表される。
任意関数 F を用いれば、温度 T 、波長 λ での空洞輻射のスペクトルが
u
λ
(
λ
;
T
)
=
T
5
F
(
λ
T
)
{\displaystyle u_{\lambda }(\lambda ;T)=T^{5}F(\lambda T)}
と表わされる。
周波数と波長の関係 ν = c /λ ν の輻射はドップラー効果により
ν
′
=
λ
λ
′
ν
=
T
′
T
ν
{\displaystyle \nu '={\frac {\lambda }{\lambda '}}\,\nu ={\frac {T'}{T}}\,\nu }
の輻射へと変化する。 周波数ごとの分光エネルギー密度を
u
ν
(
ν
;
T
)
{\displaystyle u_{\nu }(\nu ;T)}
u
ν
(
ν
′
;
T
′
)
d
ν
′
=
T
′
4
T
4
u
ν
(
ν
;
T
)
d
ν
{\displaystyle u_{\nu }(\nu ';T')\,d\nu '={\frac {T'^{4}}{T^{4}}}\,u_{\nu }(\nu ;T)\,d\nu }
u
ν
(
ν
′
;
T
′
)
=
T
′
3
T
3
u
ν
(
ν
;
T
)
{\displaystyle u_{\nu }(\nu ';T')={\frac {T'^{3}}{T^{3}}}\,u_{\nu }(\nu ;T)}
で表される。
任意関数 F' を用いれば、温度 T での空洞輻射の周波数 ν ごとのスペクトルが
u
ν
(
ν
;
T
)
=
T
3
F
′
(
ν
/
T
)
{\displaystyle u_{\nu }(\nu ;T)=T^{3}F'(\nu /T)}
と表わされる。
ウィーンの変位則の主な帰結として、スペクトルがピークとなる波長が温度に逆比例することが挙げられる。 比例係数 b を用いてピーク波長が
λ
max
=
b
T
{\displaystyle \lambda _{\text{max}}={\frac {b}{T}}}
と表わされる。比例係数 b の値は
b
=
2.897
771
955
…
×
10
−
3
m
K
{\displaystyle b=2.897~771~955\ldots \times 10^{-3}{\text{m}}\ {\text{K}}}
である[ 1]
また、スペクトルがピークとなる周波数は温度に正比例し、ピーク周波数は
ν
max
=
b
′
T
{\displaystyle \nu _{\text{max}}=b'T}
と表わされる。比例係数 b' の値は
b
′
=
5.878
925
757
…
×
10
10
Hz
/
K
{\displaystyle b'=5.878~925~757\ldots \times 10^{10}\ {\text{Hz}}/{\text{K}}}
である。
物体の温度が高ければ、放射される波長は短くなる。例えば、太陽 の表面温度 5780 K の場合ピーク波長は 500 nm にある。 白熱電球 をみると、温度の低い時、黄色っぽい光になりさらに温度が低い時赤くみえる（色温度 も参照）。
ウィーンの変位則により黒体輻射のスペクトルの関数形は
u
λ
(
λ
;
T
)
=
T
5
F
(
λ
T
)
{\displaystyle u_{\lambda }(\lambda ;T)=T^{5}F(\lambda T)}
に制限される。 スペクトルがピークとなる波長は
∂
u
λ
∂
λ
|
λ
=
λ
max
=
T
6
d
F
d
x
|
x
=
b
=
0
{\displaystyle \left.{\frac {\partial u_{\lambda }}{\partial \lambda }}\right|_{\lambda =\lambda _{\text{max}}}=T^{6}\left.{\frac {dF}{dx}}\right|_{x=b}=0}
で与えられる。 関数 F が任意であるためウィーンの変位則だけでは係数 b を決定することはできないが、プランクの法則 により具体的なスペクトル分布が得られており、係数 b を決定することができる。
プランクの法則によれば、黒体輻射の波長ごとの分光エネルギー密度 uλ は
u
λ
(
λ
;
T
)
=
C
λ
−
5
e
c
2
/
λ
T
−
1
;
C
=
8
π
h
c
,
c
2
=
h
c
k
{\displaystyle u_{\lambda }(\lambda ;T)={\frac {C\lambda ^{-5}}{e^{c_{2}/\lambda T}-1}};~C=8\pi hc,~c_{2}={\frac {hc}{k}}}
である。
F
(
x
)
=
C
x
−
5
/
(
e
c
2
/
x
−
1
)
{\displaystyle F(x)=Cx^{-5}/(e^{c_{2}/x}-1)}
d
F
d
x
|
x
=
b
=
b
−
1
F
(
b
)
[
c
2
/
b
1
−
e
−
c
2
/
b
−
5
]
=
0
{\displaystyle \left.{\frac {dF}{dx}}\right|_{x=b}=b^{-1}F(b)\left[{\frac {c_{2}/b}{1-e^{-c_{2}/b}}}-5\right]=0}
となり、x > 0F (x) > 0
c
2
/
b
1
−
e
−
c
2
/
b
−
5
=
0
{\displaystyle {\frac {c_{2}/b}{1-e^{-c_{2}/b}}}-5=0}
である。 この解はランベルトのW関数 を用いて
c
2
b
=
W
(
−
5
e
−
5
)
+
5
=
4.965
114
231
744
276
…
{\displaystyle {\frac {c_{2}}{b}}=W(-5e^{-5})+5=4.965~114~231~744~276\ldots }
と表されるので
b
=
h
c
/
k
4.965
114
231
744
276
…
=
2.897
771
955
…
×
10
−
3
m K
{\displaystyle b={\frac {hc/k}{4.965~114~231~744~276\ldots }}=2.897~771~955\ldots \times 10^{-3}~{\text{m K}}}
を得る。
振動数で表示されたプランクの公式
R
(
ν
)
=
8
π
h
c
3
ν
3
e
h
ν
/
k
T
−
1
{\displaystyle R(\nu )={\frac {8\pi h}{c^{3}}}{\frac {\nu ^{3}}{e^{h\nu /kT}-1}}}
を用いても、同様の導出が可能である。この場合、x = hν max /kT
(
3
−
x
)
e
x
=
3
{\displaystyle \left(3-x\right)e^{x}=3}
の解で、
x
=
W
(
−
3
e
−
3
)
+
3
≈
2.8214
{\displaystyle x=W(-3e^{-3})+3\approx 2.8214}
となる。したがってピークにおける振動数は
ν
m
a
x
=
x
k
h
T
,
x
k
h
=
5.878
925
757
...
×
10
10
Hz
/
K
{\displaystyle \nu _{\mathrm {max} }={\frac {xk}{h}}T,\quad {\frac {xk}{h}}=5.878~925~757{\text{...}}\times 10^{10}~{\text{Hz}}/{\text{K}}}
となる。
λ
m
a
x
ν
m
a
x
=
c
{\displaystyle \lambda _{\mathrm {max} }\nu _{\mathrm {max} }=c}
出典
W.Wien (1893). “Eine neue Beziehung der Strahlung schwarzer Körper zum zwiten Huptsatz der Wärmetheorie”. Ber.d.Berl.Akad. .
![{\displaystyle \left.{\frac {dF}{dx}}\right|_{x=b}=b^{-1}F(b)\left[{\frac {c_{2}/b}{1-e^{-c_{2}/b}}}-5\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66219f77a8092ed62afd1bfa21dc8f3d48c721cf)
