インフォーマルな議論
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/02/16 08:54 UTC 版)
ある体 F に係数をもつ任意の多項式 f は、deg(f) 個の根をある拡大体 E ⊃ F においてもつときに相異なる根 (distinct roots) をもつと言う。例えば、実係数多項式 g(X) = X2 + 1 はちょうど deg(g) = 2 つの根、すなわち虚数単位 i とその加法逆元 −i, を複素平面にもつ。したがってたしかに異なる根をもつ。一方、実係数多項式 h(X) = (X − 2)2 は異なる根をもたない。複素平面において 2 だけがこの多項式の根でありしたがって1つの根しか持たず deg(h) = 2 つではない。 多項式が相異なる根をもつかどうかテストするために、体の拡大を明示的に考えたり根を計算したりする必要はない。多項式が相異なる根をもつことと多項式とその微分の最大公約数（英語版）が定数であることは同値である。例えば、上の段落の多項式 g(X) = X2 + 1 の微分は 2X であり、標数が 2 でない体上では g(X) − ((1/2) X) 2X = 1 であるので、ベズーの等式により、最大公約数は定数である。一方、2 = 0 であるような体上では、最大公約数は g であり、g(X) = (X + 1)2 は 1 = −1 を二重根としてもつ。一方、多項式 h は係数体がなんであれ相異なる根をもたない、実際 h(X) = (X − 2)2 の微分は 2(X − 2) であり h を割り切るので、(X − α)2 の形の因子を α = 2 に対して確かにもつ。 有理あるいは実係数の多項式は相異なる根をもたないかもしれないが、この段階で有理あるいは実係数の既約多項式であって相異なる根をもたないものが存在するか否かを問うことは自然である。多項式 h(X) = (X − 2)2 は相異なる根をもたないが、非自明な因子 (X − 2) をもつので既約ではない。実は、有理あるいは実係数の既約多項式であって相異なる根をもたないものは存在しないということは正しい。体論の言葉でいえば、Q あるいは R のすべての代数拡大は分離的でありそれゆえこれらの体は両方とも完全である。
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