不定積分の置換積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/10 08:41 UTC 版)
f ( x ) {\displaystyle f(x)} が積分可能であるとき x = g ( t ) {\displaystyle x=g(t)} とおくことで f ( x ) {\displaystyle f(x)} の積分は次のような形に変形させることができる。 ∫ f ( x ) d x = ∫ f ( g ( t ) ) g ′ ( t ) d t . {\displaystyle \int f(x)\,dx=\int f(g(t))g'(t)\,dt.} インフォーマルな議論では、左辺から右辺への変形に以下のようなニーモニックがよく使われる。 x = g ( t ) {\displaystyle x=g(t)} の両辺を微分 d x d t = g ′ ( t ) {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=g^{\prime }(t)} 両辺に d t {\displaystyle dt} を掛ける d x = g ′ ( t ) d t {\displaystyle dx=g^{\prime }(t)dt} 左辺の式に代入 ∫ f ( x ) d x = ∫ f ( g ( t ) ) g ′ ( t ) d t . {\displaystyle \int f(x)\,dx=\int f(g(t))g'(t)\,dt.} この変換は式を簡単にするために用いられ左辺から右辺へも、右辺から左辺へも変換が可能である。特に前者をu-変換、後者をw-変換と呼ぶこともある。
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