長さの収縮
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パラドックス
収縮の式を表面的に適用することにより、いくつかのパラドックスが生じる可能性がある。例としては梯子のパラドックスやベルの宇宙船パラドックスがある。しかし、これらのパラドックスは同時性の相対性を正しく適用することで簡単に解決することができる。他の有名なパラドックスには、エーレンフェストのパラドックスがあり、このパラドックスは剛体の概念が相対性理論と両立できないことを示し（ボルン剛性のように条件が制限される）、ともに回転している観測者にとって幾何学が実際に非ユークリッド的であることを示した。
視覚効果
長さの収縮は、座標系にしたがい同時に位置を測定することである。これは高速で動く物体の写真を撮ることができれば、物体が運動方向に収縮していることをその写真により示すことができることを示唆しているかもしれない。しかし、このような視覚効果は写真が遠くから撮影されるため、測定値と全く異なり、長さの収縮は物体の端点の正確な位置でのみ直接測定できる。ロジャー・ペンローズやJames Terrellらにより運動する物体は普通、写真においては長さが収縮して見えないことが示された[23]。この結果はPhysics Todayのarticleでヴィクター・ワイスコフにより一般化された[24]。例えば、小さな角直径の場合、運動する球体は円形のまま回転している[25]。この種の視覚的な回転効果はPenrose-Terrell回転と呼ばれる[26]。
導出
ローレンツ変換を用いる場合
長さの収縮はローレンツ変換からいくつかの方法により導出できる。
ユークリッドおよびミンコフスキー時空の直方体 幾何学的な考察を加えると、長さの収縮は三角法の現象とみなすことができ、E3における回転の前後に直方体を通る平行な切片に類似している（右の左半分の図参照）。これはE1,2の直方体を押し上げるユークリッド的な類似である。しかし、後者の場合は押し上げられた直方体を動く板の世界スラブ(world slab)と解釈することができる。
画像: 左: 3次元ユークリッド空間E3で回転した直方体。断面は回転前よりも回転方向に長くなっている。右: ミンコフスキー時空（1つの空間次元が隠された）E1,2にある動く薄板の世界スラブで、押し上げられた直方体。押し上げられた方向の断面がその前よりも薄くなっている。いずれの場合も横方向は影響を受けず、直方体のそれぞれの隅で重なる3つの平面は相互に直交している（右はE1,2の意味で、左はE3の意味で）。
特殊相対性理論では、ポアンカレ変換はアフィン変換の1つであり、慣性運動の代わりの状態（および原点の選び方の違い）に対応するミンコフスキー時空上の代わりのデカルト座標図の間の変換として特徴づけられる。ローレンツ変換は線形変換である（原点を維持する）ポアンカレ変換である。ローレンツ変換は、ミンコフスキー幾何学では、ユークリッド幾何学で回転がする役割と同じ役割をする（ローレンツ群は時空の自己等長の等方群を形成する）。実際、特殊相対性理論は以下の表で示されるように、主にミンコフスキー時空の一種の非ユークリッド三角法を勉強することに帰着する。
3つの平面三角法 三角法 円 放物線 双曲線 クライン幾何学 ユークリッド平面 ガリレオ平面 ミンコフスキー平面 記号 E2 E0,1 E1,1 二次形式 正定値 退化 非退化であるが非定義 等長群 E(2) E(0,1) E(1,1) 等方群 SO(2) SO(0,1) SO(1,1) 等方性の種類 回転(rotations) shears boosts Rを超えた代数 複素数 二重数 分解型複素数 ε2 -1 0 1 時空の解釈 なし ニュートン時空 ミンコフスキー時空 傾斜 tan φ = m tanp φ = u tanh φ = v コサイン cos φ = (1+m2)−1/2 cosp φ = 1 cosh φ = (1-v2)−1/2 サイン sin φ = m (1+m2)−1/2 sinp φ = u sinh φ = v (1-v2)−1/2 セカント sec φ = (1+m2)1/2 secp φ = 1 sech φ = (1-v2)1/2 コセカント csc φ = m−1 (1+m2)1/2 cscp φ = u−1 csch φ = v−1 (1-v2)1/2
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- 2 長さの収縮の概要
- 3 磁力
- 4 パラドックス
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