長さの収縮 長さの収縮の概要

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長さの収縮

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/31 04:49 UTC 版)

歴史

詳細は「特殊相対性理論の歴史（英語版）」を参照

長さの収縮は、マイケルソン・モーリーの実験の否定的な結果を説明し、静止エーテルの仮説を救うためにジョージ・フィッツジェラルド(1889)とヘンドリック・ローレンツ(1892)により仮定された（ローレンツ・フィッツジェラルド収縮仮説）^[2][3]。フィッツジェラルドとローレンツの両者は、運動する電荷がつくる電場が変形するという事実に言及したが（オリヴァー・ヘヴィサイドにちなむヘヴィサイド楕円体、ヘヴィサイドは1888年に電磁理論からこれを導出した）、当時分子間力が電磁力と同じふるまい方をすると推測するに十分な理由がなかったため、長さの収縮はアドホックな仮説と見なされた。1897年、ジョゼフ・ラーモアが全ての力が電磁気的な起源を持つと考えられるモデルを開発し、長さの収縮はこのモデルの直接的な結果として現れた。しかしアンリ・ポアンカレ(1905)により電磁気力だけでは電子の安定性を説明できないことが示された。そのため彼は別のアドホックな仮説を導入しなければならなかった。それは非電気的結合力（ポアンカレ応力）であり、これを用いてポアンカレは電子の安定性を確実にし、長さの収縮を動力学的に説明し、それにより静止エーテルに対する運動を覆い隠した^[4]。

最終的には、アルベルト・アインシュタイン(1905)が、仮想的なエーテルの中を動く運動を用いずに、特殊相対性理論を使うことでこの収縮を説明し、我々の空間、時間、同時性の概念を変え、収縮仮説からアドホックな特徴を初めて^[4]完全に取り除いた^[5]。アインシュタインの考えは、自身の4次元時空の概念を導入することで全ての相対論的効果の幾何学的解釈を論証したヘルマン・ミンコフスキーによりさらに洗練された^[6]。

相対性理論の基礎

特殊相対性理論においては、観測者は同期する時計の無限格子造りに対して事象を測定する。

初めに静止している物体と動いている物体の長さを測定する方法を慎重に検討する必要がある^[7]。ここで「物体」とは常に相互に静止している、すなわち同じ慣性系で静止している端点を持つ距離を意味するだけである。観測者（もしくは測定器）と観測される物体との間の相対速度がゼロであれば、物体の固有長${\displaystyle L_{0}}$

長さの収縮: 3本の青の棒がSで静止し、3本の赤の棒がS'で静止している。AとDの左端がxの軸上で同じ位置に着いた瞬間、それぞれの棒の長さを比較する。SではAの左側とCの右側の同時位置はDとFのそれより離れているが、S'ではDの左側とFの右側の同時位置はAとCのそれより離れている。

観測者はポアンカレ・アインシュタイン同期に従い光信号を交換するか(a)、「スロークロック輸送」（1つの時計がすなわち1つの時計が消える輸送速度の限界で時計の列に沿って輸送される）(b)のどちらかにより同期された時計の列をinstallする。同期処理が終了すると、物体は時計の列に沿って移動され、全ての時計が物体の左端もしくは右端が通過した正確な時間を記憶する。その後、観測者は物体の左端が通過した時刻を記憶している時計Aと、物体の右端が「同時に」通過した時刻を記憶する時計Bの位置を見るだけで良い。距離ABが運動した物体の長さ${\displaystyle L}$に等しいことは明らかである^[7]。この方法を用いて運動している物体の長さを測定するためには同時性の定義が重要である。

別の方法は固有時間${\displaystyle T_{0}}$を示す時計（棒の静止系の時計により測定される時間${\displaystyle T}$内に端点から端点へ移動する）を使うことである。棒の長さは移動時間に速度を掛け算することで計算することができ、それにより棒の静止系では${\displaystyle L_{0}=T\cdot v}$、時計の静止系では${\displaystyle L=T_{0}\cdot v}$となる^[8]。

ニュートン力学では、同時性と時間の長さは絶対的なものであるため、どちらの方法でも${\displaystyle L}$と${\displaystyle L_{0}}$が等しいことが得られる。しかし、相対性理論では、同時性の相対性と時間の遅れに関連するすべての慣性系における光速不変により、この等価性が壊れる。第1の方法では1つの系の観測者は物体の端点を同時に測定したというが、他の全ての慣性系の観測者は物体の端点は同時に測定されていないというであろう。第2の方法では、時間${\displaystyle T}$と${\displaystyle T_{0}}$は時間の遅れにより等しくなく、結果として長さも異なる。

全ての慣性系での測定値の間の偏差はローレンツ変換と時間の遅れの式により与えられる（導出参照）。固有長は変化せず、常に物体の最大の長さを示し、別の慣性系で測定された同じ物体の長さは固有長よりも短くなることが分かる。この収縮は運動の線に沿ってのみ起こり、次の関係式で表すことができる。

${\displaystyle L=L_{0}/\gamma (v)}$

ここで

Lは物体に対して相対的な運動をする観測者により観測される長さ

L₀は固有長（静止系での物体の長さ）

γ(v)は${\displaystyle \gamma (v)\equiv {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\ }$と定義されるローレンツ因子

vは観測者と運動する物体の間の相対速度

cは光速

元の式のローレンツ因子を置き換えると、次の式になる。

${\displaystyle L=L_{0}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

この式ではLとL₀の両方は物体の運動の線に平行に測定される。相対運動中の観測者の場合、物体の長さは、物体の両端の同時に測定された距離を引き算することにより測定される。より一般的な変換はローレンツ変換参照。光速に非常に近い速度で運動する物体を静止状態で観測する観測者は、進行方向の物体の長さを非常にゼロに近い長さとして観測する。

速度1340万 m/s (3000万mph, 0.0447c)では収縮した長さは静止時の99.9%であり、速度4230万 m/s (9500万mph, 0.141c)では長さは99%である。速度の大きさが光速に近づくにつれてこの効果は顕著になる。

対称性

相対性理論の原理（これによると自然法則はすべての慣性座標系において同じ形を仮定しなければならない）は、長さの収縮が対照的であることを要求する。棒が慣性系Sで静止している場合、その長さはS'で収縮するが、棒がS'で静止している場合、S'で固有長を持ち、長さはSで収縮する。ローレンツ変換が幾何学的に4次元時空における回転に対応しているため、対称ミンコフスキーダイアグラム（Loedelダイアグラム）を用いて鮮やかに説明することができる^[9][10]。