アインシュタイン方程式 概要

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アインシュタイン方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/19 22:39 UTC 版)

概要

一般相対性理論によれば、大質量の物体は周囲の時空を歪ませる。すなわち、重力とは時空の歪みであるとして説明される。その理論的な帰結・骨子となるのが、次のように表されるアインシュタイン方程式である。

$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }$

左辺は時空がどのように曲がっているのか（時空の曲率）を表す幾何学量であり、右辺は物質の分布を表す量である。

おおざっぱに言えば、星のような物質またはエネルギーを右辺に代入すれば、その物質の周りの時空場がどういう風に曲がっているかを読みとることができる式である。空間の歪みが決まれば、その空間中を運動する物質の運動方程式（測地線方程式）が決まるので、物質分布も変動することになる。

左辺の G_μν = R_μν - 1/2Rg_μν はアインシュタイン・テンソルと呼ばれる。Λ は宇宙定数であり、この項は宇宙項と呼ばれる。R_μν はリッチテンソル、R はスカラー曲率であり、どちらも時空の計量テンソル g_μν の微分で書かれる幾何学量である。つまりアインシュタイン方程式は計量についての連立偏微分方程式の形をしている。

右辺の T_μν はエネルギー・運動量テンソルである。係数 κ はアインシュタインの重力定数と呼ばれ、ニュートンの重力定数 G と κ = 8π/c⁴ G の関係にある（π は円周率、c は光速）。

アインシュタイン方程式の両辺は4次元2階対称テンソルであるから、成分毎に分解すれば10本の独立な方程式が得られる。このうち、4本はエネルギー保存則と運動量保存則に対応するものであり、G_μν の空間成分に関係する残りの6本の方程式が時空の運動方程式に相当する。これらは時間微分2階の偏微分方程式6本（あるいは時間微分1階の偏微分方程式12本）であるが、座標の選択の自由度（ゲージの自由度）が4つ、保存則を満たしながら時間発展を行うための拘束条件が4つあると考えれば、たとえ真空中であっても1階の微分方程式4本（2階に直せば2本）の自由度が残る。この自由度は時空の歪みを周囲に波として伝える「重力波」のモードが2つあることを意味している。