アインシュタインの条件とアインシュタイン方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/23 01:45 UTC 版)
「アインシュタイン多様体」の記事における「アインシュタインの条件とアインシュタイン方程式」の解説
局所座標により、(M, g) がアインシュタイン多様体である条件は、単純で、 R a b = k g a b {\displaystyle R_{ab}=k\,g_{ab}} である。両辺のトレースをとると、アインシュタイン多様体の比例定数 k はスカラー曲率 R に R = n k {\displaystyle R=nk} により関係付けられる。ここに n は M の次元である。 一般相対論では、宇宙定数 Λ と持つアインシュタイン方程式は、幾何学単位系 G = c = 1 と用いると、 R a b − 1 2 g a b R + g a b Λ = 8 π T a b , {\displaystyle R_{ab}-{\frac {1}{2}}g_{ab}R+g_{ab}\Lambda =8\pi T_{ab},} である。エネルギー・運動量テンソル Tab は、基礎となる時空の物質とエネルギーの有様を与える。真空（時空に物質のない領域）では、Tab = 0 であり、アインシュタイン方程式を（n > 2 とすると） R a b = 2 Λ n − 2 g a b {\displaystyle R_{ab}={\frac {2\Lambda }{n-2}}\,g_{ab}} と記述できる。従って、アインシュタイン方程式の真空解は、宇宙定数との比例定数 k をもつ（ローレンツ）アインシュタイン多様体であう。
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