平方剰余の相互法則とは? わかりやすく解説

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平方剰余の相互法則

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/03/04 05:16 UTC 版)

平方剰余英語版(へいほうじょうよ、: quadratic residue)とは、ある自然数を法としたときの平方数のことであり、平方剰余の相互法則(へいほうじょうよのそうごほうそく、: law of quadratic reciprocity)は、ある整数 a が別の整数 p の平方剰余であるか否かを判定する法則である。


  1. ^ a b Lemmermeyer, Franz. “Proofs of and Bibliography on the Quadratic Reciprocity Law”. 2017年8月30日閲覧。


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平方剰余の相互法則

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/03/24 17:06 UTC 版)

円分体」の記事における「平方剰余の相互法則」の解説

ガウス (C. F. Gauss)は、今日ガウス和呼ばれる1のベキ根指数和を考察することにより、平方剰余の相互法則、第1補充法則、第2補充法則を示した。さらに、 Q ( ζ 3 ) ,   Q ( ζ 4 ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{3}),\ \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{4})} 上のガウス和考察することで、3次、4次剰余相互法則を得ることができる。クンマーは、円分体対する深い考察により、高次ベキ剰余に関する相互法則与えた高次ベキ剰余相互法則は、その後フルトヴェングラー (P. Furtwängler)により全ての素数に対して与えられ、さらに、類体論結果用いて高木アルティン (E. Artin)、ハッセ (H. Hasse)らにより、より一般の形での相互法則得られた。

※この「平方剰余の相互法則」の解説は、「円分体」の解説の一部です。
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平方剰余の相互法則

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/11/27 07:38 UTC 版)

二次体」の記事における「平方剰余の相互法則」の解説

( a p ) {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)} をルジャンドル記号とすると、次が成立する平方因子持たない素数 a と、2a互いに素素数 p に対して、 ( a p ) = 1 {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=1} ⟺ {\displaystyle \Longleftrightarrow } ( p ) {\displaystyle (p)} は、 Q ( a ) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})} 上で相異なる2つ素イデアルの積で表される。 このことから、二次体上でどの様素数2つ素イデアル分解されるかを考察することで、平方剰余の相互法則、第1補充法則、第2補充法則を示すことができる。

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「平方剰余の相互法則」を含む「二次体」の記事については、「二次体」の概要を参照ください。

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