平方剰余の相互法則
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/03/04 05:16 UTC 版)
平方剰余(へいほうじょうよ、英: quadratic residue)とは、ある自然数を法としたときの平方数のことであり、平方剰余の相互法則(へいほうじょうよのそうごほうそく、英: law of quadratic reciprocity)は、ある整数 a が別の整数 p の平方剰余であるか否かを判定する法則である。
- ^ a b Lemmermeyer, Franz. “Proofs of and Bibliography on the Quadratic Reciprocity Law”. 2017年8月30日閲覧。
- 1 平方剰余の相互法則とは
- 2 平方剰余の相互法則の概要
- 3 定義
- 4 相互法則
- 5 平方剰余の相互法則の応用
- 6 脚注
- 7 外部リンク
平方剰余の相互法則
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/03/24 17:06 UTC 版)
ガウス (C. F. Gauss)は、今日、ガウス和と呼ばれる1のベキ根の指数和を考察することにより、平方剰余の相互法則、第1補充法則、第2補充法則を示した。さらに、 Q ( ζ 3 ) , Q ( ζ 4 ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{3}),\ \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{4})} 上のガウス和を考察することで、3次、4次剰余の相互法則を得ることができる。クンマーは、円分体に対する深い考察により、高次のベキの剰余に関する相互法則を与えた。高次ベキの剰余の相互法則は、その後、フルトヴェングラー (P. Furtwängler)により全ての素数に対して与えられ、さらに、類体論の結果を用いて、高木、アルティン (E. Artin)、ハッセ (H. Hasse)らにより、より一般の形での相互法則が得られた。
※この「平方剰余の相互法則」の解説は、「円分体」の解説の一部です。
「平方剰余の相互法則」を含む「円分体」の記事については、「円分体」の概要を参照ください。
平方剰余の相互法則
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/11/27 07:38 UTC 版)
( a p ) {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)} をルジャンドル記号とすると、次が成立する。 平方因子を持たない素数 a と、2a と互いに素な素数 p に対して、 ( a p ) = 1 {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=1} ⟺ {\displaystyle \Longleftrightarrow } ( p ) {\displaystyle (p)} は、 Q ( a ) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})} 上で、相異なる2つの素イデアルの積で表される。 このことから、二次体上で、どの様な素数が2つの素イデアルで分解されるかを考察することで、平方剰余の相互法則、第1補充法則、第2補充法則を示すことができる。
※この「平方剰余の相互法則」の解説は、「二次体」の解説の一部です。
「平方剰余の相互法則」を含む「二次体」の記事については、「二次体」の概要を参照ください。
固有名詞の分類
- 平方剰余の相互法則のページへのリンク