同値な定式化とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

同値な定式化

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/21 22:48 UTC 版)

「数学的帰納法」の記事における「同値な定式化」の解説

集合論の枠組みでは、数学的帰納法の原理を次のように表すことができる。自然数 N の部分集合 A が空でないとき、A に属する最小の自然数が存在する。この原理からもともとの形の数学的帰納法が導かれることは，次のようにして示せる。帰納法の仮定 1., 2. を満たす論理式 P(n) が与えられたとする。自然数の部分集合 A を A = { n ∈ N : ¬ P(n) } によって定める。この A が空集合であるということを示したい。そうでないと仮定すると、Aに属する最小の自然数 a を取ることができるが、P(0)は成り立っていることから a は0でない。従って、ある自然数 b について a = b + 1 となっているが、a は A に属する最小の自然数であったということから、b ∉ A であり、P(b) は成り立つことになる。帰納法の仮定から P(a) も成り立つことになり、これは矛盾である。逆に、「n 以下の任意の自然数 k について k ∉ A」という形の命題 P(n) を考えることで、数学的帰納法から上の原理を導くことができる。A を自然数のある集合とし、A に属する最小の自然数が存在しないと仮定する。もし P(0) が成り立たないと、0 が A に属する最小の自然数となって仮定に反するから、P(0) は成り立つ。P(n) が成り立つとし、もし P(n + 1) が成り立たないとすると、n + 1 が A の最小の自然数となって仮定に反するから、P(n + 1) も成り立つ。よって数学的帰納法により A は空となる。

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同値な定式化

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/10 14:52 UTC 版)

「整列集合」の記事における「同値な定式化」の解説

順序集合 X が全順序集合である場合には、以下の条件はどれも互いに同値である。 X は整列集合である。つまり、空でない任意の部分集合が最小元を持つ。 X の全体で超限帰納法が有効である。 X の元からなる任意の狭義単調減少列は必ず有限な長さで停止する（ただし、従属選択公理を仮定する）。

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同値な定式化

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/18 23:40 UTC 版)

「ザイフェルト–ファン・カンペンの定理」の記事における「同値な定式化」の解説

組み合わせ群論の言葉を用いるなら、 X {\displaystyle X} が位相空間、 U {\displaystyle U} と V {\displaystyle V} が X {\displaystyle X} の弧状連結な開部分空間、 U ∩ V {\displaystyle U\cap V} が空でなく弧状連結、そして w ∈ U ∩ V {\displaystyle w\in U\cap V} ならば、 π 1 ( X , w ) {\displaystyle \pi _{1}(X,w)} は π 1 ( U , w ) {\displaystyle \pi _{1}(U,w)} と π 1 ( V , w ) {\displaystyle \pi _{1}(V,w)} の（必ずしも単射ではない）準同型 I : π 1 ( U ∩ V , w ) → π 1 ( U , w ) {\displaystyle I\colon \pi _{1}(U\cap V,w)\to \pi _{1}(U,w)} と J : π 1 ( U ∩ V , w ) → π 1 ( V , w ) {\displaystyle J\colon \pi _{1}(U\cap V,w)\to \pi _{1}(V,w)} による融合積である、と言うことができる。群の表示 π 1 ( U , w ) = ⟨ u 1 , ⋯ , u k ∣ α 1 , ⋯ , α l ⟩ π 1 ( V , w ) = ⟨ v 1 , ⋯ , v m ∣ β 1 , ⋯ , β n ⟩ π 1 ( U ∩ V , w ) = ⟨ w 1 , ⋯ , w p ∣ γ 1 , ⋯ , γ q ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}(U,w)&=\langle u_{1},\cdots ,u_{k}\mid \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{l}\rangle \\\pi _{1}(V,w)&=\langle v_{1},\cdots ,v_{m}\mid \beta _{1},\cdots ,\beta _{n}\rangle \\\pi _{1}(U\cap V,w)&=\langle w_{1},\cdots ,w_{p}\mid \gamma _{1},\cdots ,\gamma _{q}\rangle \end{aligned}}} が与えられたならば、その融合積は次のように表示できる。 π 1 ( X , w ) = ⟨ u 1 , ⋯ , u k , v 1 , ⋯ , v m ∣ α 1 , ⋯ , α l , β 1 , ⋯ , β n , I ( w 1 ) J ( w 1 ) − 1 , ⋯ , I ( w p ) J ( w p ) − 1 ⟩ . {\displaystyle \pi _{1}(X,w)=\langle u_{1},\cdots ,u_{k},v_{1},\cdots ,v_{m}\mid \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{l},\beta _{1},\cdots ,\beta _{n},I(w_{1})J(w_{1})^{-1},\cdots ,I(w_{p})J(w_{p})^{-1}\rangle .} 圏論では、 π 1 ( X , w ) {\displaystyle \pi _{1}(X,w)} は群の圏における次の図式のプッシュアウト（英語版）である： π 1 ( U , w ) ← π 1 ( U ∩ V , w ) → π 1 ( V , w ) . {\displaystyle \pi _{1}(U,w)\gets \pi _{1}(U\cap V,w)\to \pi _{1}(V,w).}