同値な別定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/04 05:30 UTC 版)
次にコンパクトの概念を全く違う角度から特徴づける。この特徴付けの基盤となるのは R n {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}} の有界閉集合に対するハイネ・ボレルの被覆定理である。そこでまず、この定理の記述に必要な概念を定義する。 定義 (開被覆) ― ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} を位相空間とし、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} をXの部分集合の集合とする。 ∪ O ∈ S O = X {\displaystyle \cup _{O\in {\mathcal {S}}}O=X} が成立するとき、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} はXを被覆するといい、特に S {\displaystyle {\mathcal {S}}} の元が全て開集合であるとき、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} をXの開被覆(英: open cover)という。 ハイネ・ボレルの被覆定理は、 R n {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}} の有界閉集合上では開被覆が「ハイネ・ボレル性」という性質を満たすという趣旨の定理であるが、実はこのハイネ・ボレル性はコンパクト性と同値になる事が知られている。そこで以下、ハイネ・ボレル性を定義し、それがコンパクト性と同値になる事を定理として記述する。なお、学部レベルの多くの教科書ではハイネ・ボレル性の方をコンパクトの定義として採用しているものが多い。 定理 (コンパクト性の別定義) ― 位相空間 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} に対し、以下の２つは同値である： Xはコンパクト (ハイネ・ボレル性) Xの任意の開被覆 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} に対し、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} のある有限部分集合 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} が存在し、 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} はXを被覆する。 上述の T {\displaystyle {\mathcal {T}}} の事を S {\displaystyle {\mathcal {S}}} の有限部分被覆という。 すでに述べたように R n {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}} の部分集合では有界閉集合である事とコンパクトである事は同値なので、もともとのハイネ・ボレルの定理は上述の定理から従う。 ハイネ・ボレル性を定理の証明などでXの各点xの近傍 O x {\displaystyle O_{x}} 上で局所的に示されている性質をX全体に広げる際に用いられる。この場合、ハイネ・ボレル性でいう開被覆 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} は S = { O x ∣ x ∈ X } {\displaystyle {\mathcal {S}}=\{O_{x}\mid x\in X\}} であり、ハイネ・ボレル性はこの無限個の開集合からなる開被覆から有限部分被覆 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} を抽出して、無限に伴う証明の困難さを回避する事を可能にする。 具体的には例えば「 R n {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}} の有界閉集合X上で定義された実数値連続関数fは一様連続である」という定理は、ハイネ・ボレル性を利用して以下のように証明する。まずfの連続性により、任意にε>0を固定するとき、Xの各点xの、あるδx-近傍が f ( B δ x ( x ) ) ⊂ B ε ( x ) {\displaystyle f(B_{\delta _{x}}(x))\subset B_{\varepsilon }(x)} を満たす。 この δ x {\displaystyle \delta _{x}} はxに依存しているが、どのxに対しても f ( B δ ( x ) ) ⊂ B ε ( x ) {\displaystyle f(B_{\delta }(x))\subset B_{\varepsilon }(x)} を満たすくらい小さなδをxに依存しないよう取れれば一様連続性が言える。そのようなδを見つける単純な方法は δ = inf x ∈ X δ x {\displaystyle \delta =\inf _{x\in X}\delta _{x}} とする事だが、xの取りうる範囲が無限にあるので、この方法だとδは0になってしまうかもしれない。 そこでハイネ・ボレル性を使って開被覆 S = { B δ x ( x ) | x ∈ X } {\displaystyle {\mathcal {S}}=\{B_{\delta _{x}}(x)|x\in X\}} の有限部分被覆 T = { B δ x i ( x i ) | i = 1 , … , n } {\displaystyle {\mathcal {T}}=\{B_{\delta _{x_{i}}}(x_{i})|i=1,\ldots ,n\}} を選び、 δ = min i δ x i {\displaystyle \delta =\min _{i}\delta _{x_{i}}} とすればδ>0であり、どのxに対しても f ( B δ ( x ) ) ⊂ B ε ( x ) {\displaystyle f(B_{\delta }(x))\subset B_{\varepsilon }(x)} なので一様連続性が言える。
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同値な別定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/07 03:49 UTC 版)
位相空間において、部分集合が閉であるための必要十分条件は、それが自身の閉包と一致することである。同じことだが、集合が閉となるための必要十分条件はそれがその極限点をすべて含むことである。あるいはまた、閉であるための必要十分条件はそれがその境界点をすべて含むことであるということもできる。閉集合は（クラトフスキーの）閉包作用素（英語版）の不動点である。 これは、多様体が閉であるというのとは意味が異なるので、混同してはならない。
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