閉包作用素
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完備束 L 上の写像 c: L → L が以下の条件を満たすとき、c を閉包作用素（英語版）と言う： x ≦ y ならば c(x) ≦ c(y) x ≦ c(x) c(c(x)) = c(x) L と順序関係 ≦ のなす構造を圏とみなしたとき、条件1と順序関係の性質から c を関手と思うことができる。さらに、順序集合を圏とみなしたとき、各対象の間の射は高々1つである。このことと条件2,3を用いると、c は L 上のモナドである条件を満たす。半順序上のモナドが閉包作用素であることは Mac Lane (1978, p. 139) でも示されている。
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閉包作用素
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「閉包 (位相空間論)」の記事における「閉包作用素」の解説
詳細は「閉包作用素」を参照 閉包作用素 − は S ¯ = X ∖ ( X ∖ S ) ∘ {\displaystyle {\bar {S}}=X\smallsetminus (X\smallsetminus S)^{\circ }} および S ∘ = X ∖ X ∖ S ¯ {\displaystyle S^{\circ }=X\smallsetminus {\overline {X\smallsetminus S}}} が成り立つという意味で、開核作用素 o の双対である。ただし、X は S を含む位相空間とし、逆斜線は集合論的差を表すものとする。 従って、閉包作用その抽象論およびクラトフスキーの閉包公理は、集合とその補集合とを入れ替える操作で、直ちに開核作用素についてのものに翻訳することができる。
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