同値な特徴づけ
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環のジャコブソン根基はさまざまな内在的、外在的特徴づけをもつ。
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同値な特徴づけ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 23:39 UTC 版)
「平方因子をもたない整数」の記事における「同値な特徴づけ」の解説
正整数 n が無平方であることと、n の素因数分解においてどの素数も 1 回よりも多く現れることがないことは同値である。別の言い方をすれば、n の各素因数 p に対して、素数 p は n / p を割らない。また別の言い方をすれば、n が無平方であることと、すべての分解 n = ab に対して因数 a と b が互いに素であることは同値である。この定義から直ちに、任意の素数は無平方である。 正整数 n が無平方であることと、μ(n) ≠ 0 は同値である。ただし μ はメビウス関数を表す。 正整数 n が無平方であることと、 n を正整数 m と無平方数 k によって n = m 2 k {\displaystyle n=m^{2}k} の形に表したとき m = 1 {\displaystyle m=1} となることは同値である。このこととメビウス関数の性質から、正整数 n が無平方であることと ∑ d 2 ∣ n μ ( d ) = 1 ⋯ ( ∗ ) {\displaystyle \sum _{d^{2}\mid n}\mu (d)=1\cdots (*)} は同値である。この和は ∑ d ∣ m μ ( d ) {\displaystyle \sum _{d\mid m}\mu (d)} に一致するからである。 正整数 n が無平方であることと、位数 n のすべてのアーベル群が同型であることは同値であり、それらがすべて巡回群であることとも同値である。このことは有限生成アーベル群の分類から従う。 正整数 n が無平方であることと、剰余環 Z/nZ （合同算術を参照）が体の積であることは同値である。このことは中国の剰余定理と Z/kZ の形の環が体であることと k が素数であることが同値であることから従う。 すべての正整数 n に対して、n のすべての正の約数からなる集合は、整除性で順序を入れることによって半順序集合になる。この半順序集合はつねに分配束（英語版）である。それがブール代数であることと n が無平方であることは同値である。 整数の根基（英語版）は常に無平方である。整数が自身の根基に等しければ無平方である。
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