すうり‐ろんりがく【数理論理学】
読み方：すうりろんりがく
数理論理学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/13 07:50 UTC 版)
数理論理学（すうりろんりがく、英 : mathematical logic）または現代論理学[1][2]、記号論理学[1][2]、数学基礎論[3]、超数学[4]は、数学の分野の一つであり[4]、「数学の理論を展開する際にその骨格となる論理の構造を研究する分野」を指す[3][注 1]。数理論理学（数学基礎論）と密接に関連している分野としては計算機科学〔コンピュータ科学〕[4]や理論計算機科学などがある[注 2][注 3]。
注釈
- ^ 以下、『岩波 数学入門辞典』からの引用[3]。
数理論理学
数学の理論を展開する際にその骨格となる論理の構造を研究する分野をいう．数学基礎論とほぼ同義である．[3]
mathematical logic
- ^ 以下、『岩波 数学入門辞典』からの引用[4]。
数学基礎論
数理論理学や超数学とほぼ同じ意味で，論理を扱う数学の一分野である． … ゲーデルの不完全性定理は有限の立場（形式主義）で数学の無矛盾性を証明することはできないことを示した．ゲンツェン（Gentzen）は，有限の立場より緩い制限のもとで自然数論の無矛盾性を証明した．
foundations of mathematics
数学基礎論は計算機科学とも密接に結びついている．[4] - ^ 学部の教科書には Boolos, Burgess and Jeffrey (2002)、 Enderton (2001)、Mendelson (1997)がある。Shoenfield (2001) による古典的な大学院の教科書は1967年に誕生した。
- ^ これに反してヒルベルトの第2問題における「算術」は実数論のことであって自然数論のことではない。
- ^ Cohen 2008を参照
- ^ この用語に関する詳しいサーベイはSoare （1996）による。
- ^ Ferreirós (2001) は、20世紀初頭の他の形式論理に対する一階論理の進歩をまとめている。
引用
数理論理学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/27 00:46 UTC 版)
2000年に、集合論、計算機科学における数理論理学、および証明論を含んだ The Prospect For Mathematical Logic In The Twenty-First Century の中で、数理論理学が議論された。
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数理論理学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/22 16:25 UTC 版)
ねじれ群の興味深い性質の一つは、それが一階述語論理で定式化できないことである。これは偏に、定義に必要となる ∀ x . ( ( x = e ) ∨ ( x ∘ x = e ) ∨ ( ( x ∘ x ) ∘ x = e ) ∨ ⋯ ) {\displaystyle \forall x.\,((x=e)\lor (x\circ x=e)\lor ((x\circ x)\circ x=e)\lor \cdots )} なる形の公理が無限個の選言を含むため、一階論理では許容されないことによる。公理系が無限集合となることを許してこの無限選言を回避することは不可能である（コンパクト性定理から、ねじれ群を特徴付けることのできる一階論理式の集合は存在しないことが導かれる）。 ねじれ群を特徴付ける一階論理の公理系 T {\displaystyle T} が存在したと仮定する。新しい定数記号 c {\displaystyle c} を言語に追加する。そして、全ての正整数 n {\displaystyle n} に対して「 c {\displaystyle c} の次数が n {\displaystyle n} 以上である」という意味の論理式 φ n : c ≠ e ∧ c 2 ≠ e ∧ ⋯ ∧ c n − 1 ≠ e {\displaystyle \varphi _{n}\colon c\neq e\wedge c^{2}\neq e\wedge \cdots \wedge c^{n-1}\neq e} を T {\displaystyle T} に追加する。こうして得られる公理系を T ′ {\displaystyle T'} としよう。すると T ′ {\displaystyle T'} のどの有限部分集合もモデルを持つ。なぜなら、 φ n {\displaystyle \varphi _{n}} の形の論理式は有限個しか含まれないので、十分大きな位数 n {\displaystyle n} の有限巡回群 Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } において c {\displaystyle c} を 1 ¯ {\displaystyle {\bar {1}}} と解釈すればよいからである。コンパクト性定理より T ′ {\displaystyle T'} はモデル G {\displaystyle G} を持つ。 G {\displaystyle G} はねじれ群であるにもかかわらず無限位数の元 c G {\displaystyle c^{G}} を含む。これは矛盾である。 上記の証明は、定数記号を追加すれば、「ねじれなし元を含む群」（つまりねじれ群でない群）が一階論理で（無限）公理化可能であることも示している。また、ねじれなし群は一階論理で（無限）公理化可能である。なぜなら、群の公理系に ψ n : ∀ x . ( x n = e → x = e ) ( n = 1 , 2 , 3 , … ) {\displaystyle \psi _{n}\colon \forall x.(x^{n}=e\to x=e)\ (n=1,2,3,\ldots )} という無限個の論理式を添加した公理系を考えれば、そのモデルはちょうどねじれなし群となるからである。
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数理論理学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/10 09:37 UTC 版)
リテラルとは、数理論理学において、原子論理式あるいは原子論理式の否定のこと。 基礎リテラルとは、リテラルのうち、変数を含んでいないものを指す。 共通な変数を持たない2つの節に対して、節のそれぞれのリテラルで使って再汎単一化要素をもち、二次元導出系 (英: binary resolvant) を作る場合に導出に使われたリテラル (英: literal resolved upon) と呼ぶ。共通の変数を含まない2つの節で、推論した節の二次元等号調整系 (英: binary paramodulant) を作ったとき、等号調整に使われたリテラル (英: literal paramodulated upon) という。
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数理論理学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/25 02:35 UTC 版)
「ISO 80000-2」の記事における「数理論理学」の解説
番号記号意味備考2-4.1 p ∧ q p と q の論理積, p かつ q 2-4.2 p ∨ q p と q の論理和, p または q この「または」は包括である。p または qまたはその両方が真のとき、p ∨ qは真である。 2-4.3 ¬ p pの否定, pではない 2-4.4 p ⇒ q p は q を包含する, もしpならばq q ⇐ p は p ⇒ q と同じ意味である。⇒は包含記号である。 2-4.5 p ⇔ q p は q と同値 (p ⇒ q)∧(q ⇒ o) は p ⇔ q と同じ意味である。⇔は同値記号である。 2-4.6 ∀x∈A p(x) Aに属する全てのxについて、命題p(x)が真 文脈から集合 A が自明である場合は、∀x p(x)と表記することができる。∀は全称限量子である。 2-4.7 ∃x∈A p(x) Aの中に命題p(x)が真となるxが存在する 文脈から集合Aが自明である場合は、∃x p(x)と表記することができる。∃は存在限量子である。∃1は、ただ1つのxだけがp(x)を満たすことを示す。∃1は∃!とも表記する。
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数理論理学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/04 19:24 UTC 版)
「スタニスワフ・レシニェフスキ」、「ネルソン・グッドマン」、および「en:Mereology」も参照 20世紀初頭のポーランドの論理学者、レシニェフスキによって、数学基礎論・数学の哲学の文脈で「メレオロジー」が提唱された。この場合のメレオロジーは集合論と対比される。 レシニェフスキのメレオロジーはその後、20世紀中期アメリカの論理学者かつ哲学者でもある、グッドマンやクワインに継承された。
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