正角図法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/02/20 04:50 UTC 版)
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正角性
地図投影法における正角性とは、小さな図形であればどんな角度であっても、元の図形と同じ角度で地図上に表示される事を意味する。したがって小さな図形であれば、地球上での実際の形と地図に投影された形とがおおよそ相似になる。また狭い範囲の中であれば、地球上で長さが等しい図形は（方向に関係なく）地図上でも長さが等しくなる。つまり狭い範囲で見れば等長写像で近似できる。これをテイソーの指示楕円で見ると、正しい円が表示されていれば、そこで正角になっている。
多くの地図投影法では、図法を定義する中心点や標準線の近くで正角になる（モルワイデ図法では中央経線上の北緯および南緯40度44分の2点周辺）。しかし図法の中心から外れると形が歪む場合がある。ここでいう「形の歪み」とは、平行四辺形状に傾けたり、縦だけ引き延ばしたような歪み方である。全ての方向に均等に拡大したり回転しただけのものは相似であり、「形の歪み」には含まれない。
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正角図法の特徴
正角図法とは、地図上の全ての点で正角性が成り立つ投影法である。つまり地図上のどの点でも、小さな図形であれば地球上の図形が正しい形で描かれる。小さな図形の中であれば長さの比なども保存される。テイソーの指示楕円で見ると、すべてが正しい円で表示される図法である。
しかし、あくまで「小さな図形であれば」であって、大きな図形でも正しい形で投影されるとは限らない。そもそも球面上では「３つの角がすべて90度である正三角形」もありえて、これを「正しく」地図上に描くことは不可能である。正角図法でこの三角形を描けば、３つの角がすべて90度ではあるが辺が曲線になる、または無限遠点を含む形になる。赤道も「北極の周りの円」とも「地球周囲のまっすぐな線」とも見る事が出来るが、１枚の地図でこれらを両立して描く事は出来ない。
また正角図法では、小さな図形における相似性はどの点でも保たれるが、拡大率は各点で異なってくる。地図上の場所による相似比（縮尺）の違いが、正角図法における「歪み」の原因である。テイソーの指示楕円で言えば、正角図法ではすべてが正しい円になるが、円の大きさは場所によって変わる。地球面すべてを描く場合は、拡大率が無限大になる点が現れる場合もある。
正角図法では角度が正しく保たれることから、経線と緯線が直交する。しかし逆は言えない。赤道を標準緯線とする円筒図法は経線方向の拡大率と緯線方向の拡大率が異なる場合があり、この場合でも経線と緯線は直交するが、他の角度は保たれない。
正角図法の例
- メルカトル図法（正角円筒図法）
- ランベルト正角円錐図法
- 平射図法（正角方位図法、大円も小円も必ず円か直線で描かれる）
- GS50図法（平射図法をベースとして、アメリカ合衆国50州の範囲で縮尺のずれが±2%に収まるよう多項式で調整した正角図法）
- リトロー図法（正角逆方位図法）
- ラグランジュ図法（多円錐図法、ランベルト正角円錐図法をメビウス変換で変形したもの）
- アウグスト外サイクロイド図法（全球面が円になる場合のラグランジュ図法を、さらに３次複素多項式で変形したもの）
- 楕円関数の応用
- パース・クインカンシャル図法（北極を中心とした場合は赤道が正方形になるが、その頂点に当たる4点では正角性が成り立たない）
- リー正角正四面体図法
地形図など精度が要求される場合、地球を球ではなく回転楕円体として扱う。まず回転楕円体面から球面への等角写像を行って、その上で球面から平面への正角図法による投影を行う（ガウス正角二重投影）。 横メルカトル図法の場合は、子午線弧長を保存するガウス・クリューゲル図法を用いるのが現在では一般的である。
- ^ Systèmes de projections, Institut Geographique National
- 1 正角図法とは
- 2 正角図法の概要
- 3 正角図法と正則関数
- 4 参考文献
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