期待値
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/20 09:37 UTC 版)
性質
期待値は総和や積分によって定義されるので、総和や積分のもつ性質をすべて持っている。以下、X, Y を確率変数、a, b をスカラーとする。
- 線形性
- 単調性
- イェンセンの不等式：凸関数 φ に対して、
- チェビシェフの不等式：(0, ∞) 上で定義された正値単調増加関数 φ と任意の正の数 ε に対して、
![{\displaystyle E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]}](https://weblio.hs.llnwd.net/e7/img/dict/wkpja/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f20a5cf4b4dd13bef83477f4659703db627ff28)
![{\displaystyle X\leq Y\Rightarrow E[X]\leq E[Y]}](https://weblio.hs.llnwd.net/e7/img/dict/wkpja/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23e8a844c73017f6fb416bd46922fd131921b509)
![{\displaystyle \varphi (E[X])\leq E[\varphi (X)]}](https://weblio.hs.llnwd.net/e7/img/dict/wkpja/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbb2fbc7074780995258c5a88e034de25f5e80f4)
![{\displaystyle P(|X|>\varepsilon )\leq {\frac {E[\varphi (X)]}{\varphi (\varepsilon )}}}](https://weblio.hs.llnwd.net/e7/img/dict/wkpja/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b1f5e692e7a885dc814c56ab5436451b1792756)
さらに、2つの可積分な確率変数 X と Y が独立の場合は、
![{\displaystyle E[XY]=E[X]E[Y]}](https://weblio.hs.llnwd.net/e7/img/dict/wkpja/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c4f4c7aaa7b3f2ebd9dd291f393328fbaae3dbd)
が成立する。
確率変数を含まない定数項を含むことができ、上記の性質と合わせて次の性質を持つ[3]：
![{\displaystyle E_{P_{X}}[a+b\ g(X)]=E_{P_{X}}[a]+b\ E_{P_{X}}[g(X)]=a+b\ E_{P_{X}}[g(X)]}](https://weblio.hs.llnwd.net/e7/img/dict/wkpja/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e40b62d6b456b1769aa0c377d2aa9f47220d2c3)
- ^ a b "確率変数 X，ある関数 g(·) とするとき，g(X) の期待 値は次のように定義される。" Tanizaki. (2018). 第5章 統計学の基礎：復習. 大阪大学 「計量経済基礎」.
- ^ JIS Z 8101-1 1999 統計−用語と記号−第1部：確率及び一般統計用語（日本規格協会）
- ^ "a + bX の期待値は，E(a + bX) = a + bE(X) ... となる。" Tanizaki. (2018). 第5章 統計学の基礎：復習. 大阪大学 「計量経済基礎」.
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