冪級数 収束半径

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冪級数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/06/25 16:37 UTC 版)

収束半径

冪級数は変数 x がある値のときには収束し、別の値のときには発散するかもしれない。(x − c) の冪によるすべての冪級数 f(x) は x = c において収束する。（正しい値 f(c) = a₀ を得るには数式 0⁰ を 1 と解釈しなければならない。）c が唯一の収束点でなければ、必ず 0 < r ≤ ∞ なるある数 r が存在して、級数は |x − c| < r のときにはいつでも収束し、|x − c| > r のときにはいつでも発散する。この数 r をその冪級数の収束半径 (radius of convergence) と呼ぶ。一般に収束半径は次で与えられる：

$r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}},$

あるいは同じことだが

$r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}.$

（これはコーシー・アダマールの定理であり。記号の説明は上極限と下極限を参照。）それを計算する速い方法は

$r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|$

である（ただしこの極限が存在するときに限る）。

級数は |x − c| < r に対して絶対収束し、{x : |x − c| < r} の任意のコンパクト部分集合上一様収束する。つまり、級数は収束円板の内部において絶対かつコンパクト収束する。

|x − c| = r に対しては、級数が収束するか発散するかの一般的なステートメントを述べることは出来ない。しかしながら、実変数の場合には、級数が x において収束するならば級数の和は x において連続である（ただしｃからｘに向かう側だけにおける片側の連続）というアーベルの定理がある。複素変数の場合には、c と x を結ぶ線分に沿っての連続性しか主張できない。