余弦定理 概要

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余弦定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/06 09:21 UTC 版)

概要

余弦定理は、内角をその余弦でとらえる。ここで余弦とは角の余角に対する正弦のことであり、余角とは、自身の大きさとの和が直角になる角のことである。

余弦をとらえるのでは直接内角をとらえたことにはならないが、実際には余弦の値に対する内角は一意に決まる。なぜなら、三角形の内角は 0 < x < π（π は円周率）の範囲を取り、その範囲に制限した余弦関数 y = cos x は狭義減少の全単射となるからである。式で表すと逆三角関数 x = arccos y となり、数値計算できる。したがって、余弦定理により三角形の内角と辺の関係をとらえることができる。

△ABC において、a = BC, b = CA, c = AB, α = ∠CAB, β = ∠ABC, γ = ∠BCA とすると、

a² = b² + c² − 2bc cos α

b² = c² + a² − 2ca cos β

c² = a² + b² − 2ab cos γ

が成り立つ。これらの式が成り立つという命題を余弦定理、あるいは第二余弦定理という。

余弦定理は 1つの内角の大きさとそれをはさむ 2辺の長さが分かっていれば、対辺（残りの辺）の長さが決まるという定理である。このことは三角形の合同条件に対応している。逆に 3辺の長さが分かっていれば

$\cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$

と余弦について解くことによって内角の大きさを知ることができる。

第二余弦定理において、特に α = π/2 の場合は、cos α = 0 なので、ピタゴラスの定理

a² = b² + c²

などが導かれる。すなわち、第二余弦定理は、「一般の三角形に対するピタゴラスの定理」といえる。