第一余弦定理の利用
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/20 08:09 UTC 版)
BC を底辺としたときの △ABC の高さが b sin γ = c sin β であることに注意すれば第一余弦定理 a = b cos γ + c cos β の平方は a 2 = ( b cos γ + c cos β ) 2 = ( b cos γ ) 2 + ( c cos β ) 2 + 2 b c cos β cos γ = b 2 + c 2 + 2 b c ( cos β cos γ − sin β sin γ ) − ( ( b sin γ ) 2 − 2 b c sin β sin γ + ( c sin β ) 2 ) = b 2 + c 2 + 2 b c cos ( β + γ ) − ( b sin γ − c sin β ) 2 = b 2 + c 2 + 2 b c cos ( β + γ ) − 0 2 = b 2 + c 2 + 2 b c cos ( π − α ) = b 2 + c 2 − 2 b c cos α {\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=\left(b\cos \gamma +c\cos \beta \right)^{2}\\&=\left(b\cos \gamma \right)^{2}+\left(c\cos \beta \right)^{2}+2bc\cos \beta \cos \gamma \\&=b^{2}+c^{2}+2bc(\cos \beta \cos \gamma -\sin \beta \sin \gamma )-(\left(b\sin \gamma \right)^{2}-2bc\sin \beta \sin \gamma +\left(c\sin \beta \right)^{2})\\&=b^{2}+c^{2}+2bc\cos \left(\beta +\gamma \right)-\left(b\sin \gamma -c\sin \beta \right)^{2}\\&=b^{2}+c^{2}+2bc\cos \left(\beta +\gamma \right)-0^{2}\\&=b^{2}+c^{2}+2bc\cos(\pi -\alpha )\\&=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha \end{aligned}}} であり第二余弦定理となる。 このとき、 cos 2 γ + sin 2 γ = 1 {\displaystyle \cos ^{2}\gamma +\sin ^{2}\gamma =1\!} や cos 2 β + sin 2 β = 1 {\displaystyle \cos ^{2}\beta +\sin ^{2}\beta =1\!} を利用。 a > 0 に注意して逆の変形をすれば、第二余弦定理から第一余弦定理を得る。
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