第一余弦定理の証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/04 10:45 UTC 版)
辺 b の対角が直角 β= π/2 であるとき cos β = 0 となり cos β を含む第一余弦定理は a = b cos γ c = b cos α のようになる。辺 b は直角三角形の斜辺であるため、これは余弦関数の定義そのものである。 以下、β と γ は直角ではないとする。すなわち cos β と cos γ は 0 ではないとする。 正弦定理によれば a sin α = b sin β = c sin γ {\displaystyle {a \over \sin \alpha }={b \over \sin \beta }={c \over \sin \gamma }} であり、加比の理から a sin α = b sin β = c sin γ = b cos γ + c cos β sin β cos γ + sin γ cos β {\displaystyle {a \over \sin \alpha }={b \over \sin \beta }={c \over \sin \gamma }={b\cos \gamma +c\cos \beta \over \sin \beta \cos \gamma +\sin \gamma \cos \beta }} さらに三角関数の加法定理から = b cos γ + c cos β sin ( β + γ ) = b cos γ + c cos β sin ( π − α ) = b cos γ + c cos β sin α {\displaystyle ={b\cos \gamma +c\cos \beta \over \sin(\beta +\gamma )}={b\cos \gamma +c\cos \beta \over \sin(\pi -\alpha )}={b\cos \gamma +c\cos \beta \over \sin \alpha }} よって、最初の式と最後の式より a = b cos γ + c cos β {\displaystyle a=b\cos \gamma +c\cos \beta } となる。 正弦定理では外接円の半径との関係もあるがその部分を除けば、この証明から逆に第一余弦定理を仮定して正弦定理を示すこともできる。
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