クロス積

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クロス積

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/03/27 20:11 UTC 版)

3次元ベクトル a, b のクロス積（a × b）。クロス積は、a, b のなす平行四辺形の面積に等しい大きさを持ち、平行四辺形に垂直なベクトルとなる。

クロス積（クロスせき、（英: cross product）は、3次元空間（3次元有向内積空間）において定義される、2つのベクトルから新たなベクトルを与える二項演算である。

2つのベクトル a, b のクロス積は乗算記号を用いて a × b、あるいは角括弧を用いて [a, b] と表される。

呼称

「クロス積」という呼称は、積の記号に十字（×）を用いることに由来する（同様にベクトルの内積は点（⋅）を用いることからドット積と呼ばれる）。またクロス積の別称として、ベクトル積（ベクトルせき、（英: vector product）がある。「ベクトル積」は積 a × b がベクトルとなることに由来する（同様に積 a ⋅ b はスカラーとなるため、ドット積はスカラー積とも呼ばれる）。

日本語や中国語では、クロス積（叉積、叉积）をしばしば外積（外積、外积）と呼び、しばしば同義語として扱う。しかし「外積」という語は、より一般には外積代数における楔積も指し、必ずしも「クロス積」とは一致しない。 楔積とクロス積を区別のため、前者を外積と呼び後者をクロス積と呼ぶ。

outer product もまた「外積」と訳されるが、こちらは直積（direct product）を意味する。

表記

2つのベクトル a, b のクロス積は、以下のように表記される。

• 乗算記号を用いる場合：${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}}$
  右手の法則によるクロス積の向き

  

  右手系の外積

  3次元空間上の2つのベクトル a, b のクロス積 a × b は、以下のように定義される：

  ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}=\left|{\boldsymbol {a}}\right|\left|{\boldsymbol {b}}\right|\sin(\theta )\ {\boldsymbol {n}}}$

  （図1）2つのベクトルのクロス積の大きさは、それらが作る平行四辺形の大きさとなる。

  

  （図2）3つのベクトルのクロス積は、平行六面体を定義する。

  2つのベクトルのクロス積は、2つのベクトルが作る平行四辺形の大きさに等しい（図1）。

  $${\displaystyle \left\|{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}\right\|=\left\|{\boldsymbol {a}}\right\|\left\|{\boldsymbol {b}}\right\|\left|\sin \theta \right|}$$

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クロス積

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/08 06:12 UTC 版)

「記号の濫用」の記事における「クロス積」の解説

ベクトル a = (a1, a2, a3) と b = (b1, b2, b3) のクロス積を形式的に行列式を用いて a × b = det [ i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ] と書くことができる（第一行について"余因子展開"する）。これは記号の濫用であるがクロス積の記憶術としてもまた計算においても役に立つ。

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クロス積

出典:『Wiktionary』 (2021/08/22 00:51 UTC 版)

名詞

クロス積（くろすせき）

1. ベクトル積に同じ。