クロス積と三重積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/29 01:56 UTC 版)
R3 におけるベクトルに対して、対応する外積代数はベクトルのクロス積およびスカラー三重積と近しい関係にある。標準基底 {e1, e2, e3} を用いて、2 つのベクトル u = u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 3 e 3 , v = v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3 {\displaystyle {\boldsymbol {u}}=u_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+u_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+u_{3}{\boldsymbol {e}}_{3},\quad {\boldsymbol {v}}=v_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+v_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+v_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}} の楔積は 3-次元空間 ⋀2(R3) の基底 {e1 ∧ e2, e1 ∧ e3, e2 ∧ e3} に関して u ∧ v = ( u 1 v 2 − u 2 v 1 ) ( e 1 ∧ e 2 ) + ( u 1 v 3 − u 3 v 1 ) ( e 1 ∧ e 3 ) + ( u 2 v 3 − u 3 v 2 ) ( e 2 ∧ e 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}}\\&\quad =(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})({\boldsymbol {e}}_{1}\wedge {\boldsymbol {e}}_{2})+(u_{1}v_{3}-u_{3}v_{1})({\boldsymbol {e}}_{1}\wedge {\boldsymbol {e}}_{3})+(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})({\boldsymbol {e}}_{2}\wedge {\boldsymbol {e}}_{3})\end{aligned}}} と書くことができる。これは 3-次元における空間ベクトルの通常のクロス積の定義とよく似ている（通常のクロス積に落とすには後述のホッジの ∗ を用いればよい）。さらに 3 つ目のベクトルを w = w 1 e 1 + w 2 e 2 + w 3 e 3 {\displaystyle {\boldsymbol {w}}=w_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+w_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+w_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}} とすれば、1-次元ベクトル空間 ⋀3(R3) の基底 e1 ∧ e2 ∧ e3 に関して、これら 3 つのベクトルの楔積は u ∧ v ∧ w = ( u 1 v 2 w 3 + u 2 v 3 w 1 + u 3 v 1 w 2 − u 1 v 3 w 2 − u 2 v 1 w 3 − u 3 v 2 w 1 ) ( e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}}\wedge {\boldsymbol {w}}\\&\quad =(u_{1}v_{2}w_{3}+u_{2}v_{3}w_{1}+u_{3}v_{1}w_{2}-u_{1}v_{3}w_{2}-u_{2}v_{1}w_{3}-u_{3}v_{2}w_{1})({\boldsymbol {e}}_{1}\wedge {\boldsymbol {e}}_{2}\wedge {\boldsymbol {e}}_{3})\end{aligned}}} となる。これはスカラー三重積の通常の定義とよく似ている。 3-次元における通常のクロス積やスカラー三重積は幾何学的・代数的の両面で解釈することができる。クロス積 u × v は u と v の両方に直交し、大きさがそれらの張る平行四辺形の面積の大きさに等しいようなベクトルとして解釈することができ、これはまた u と v を列ベクトルとする行列の小行列式を成分に持つベクトルとして解釈することもできる。u, v, w のスカラー三重積は幾何学的には（符号付）体積を表し、代数的には u, v, w を列ベクトルとする行列の行列式となっている。3-次元における外積についても同様の解釈が許される。事実として、正の向きを持つ正規直交基底の存在性に関して、外積はこれらの概念をより高い次元へと一般化する。
※この「クロス積と三重積」の解説は、「外積代数」の解説の一部です。
「クロス積と三重積」を含む「外積代数」の記事については、「外積代数」の概要を参照ください。
- クロス積と三重積のページへのリンク
