微分可能関数とは？わかりやすく解説

数学の一分野である微分積分学において、可微分函数あるいは微分可能関数（びぶんかのうかんすう、英: differentiable function）とは、その定義域内の各点において導関数が存在するような関数のことを言う。微分可能関数のグラフには、その定義域の各点において非垂直な接線が存在しなければならない。その結果として、微分可能関数のグラフは比較的なめらかなものとなり、途切れたり折れ曲がったりせず、尖点（カスプ）や、垂直接線を伴う点などは含まれない。

より一般に、ある関数 f の定義域内のある点 x₀ に対し、導関数 f′(x₀) が存在するとき、f は x₀ において微分可能であるといわれる。そのような関数 f はまた、点 x₀ の近くでは線型関数によってよく近似されるため、x₀ において局所線型（locally linear）とも呼ばれる。

微分可能性と連続性

f が点 x₀ において微分可能であるなら、f はその点 x₀ において連続である。特に、微分可能関数はどのようなものでも、その定義域内のすべての点において連続である。しかしその逆は成立しない：すなわち、連続関数は必ずしも微分可能ではない。例えば、折れ（bend）や尖点、あるいは垂直接線を伴う関数は連続であることもあり得るが、それら例外的な箇所においては微分可能性は失われている。

現実に現れる多くの関数は、すべての点あるいはほとんどすべての点において導関数を持つものである。しかし、バナッハによる一つの結果として、ある点において導関数を持つ関数の集合は、すべての連続関数からなる空間におけるやせた集合であることが示されている^[1]。くだけた言い方をすると、このことはつまり、微分可能関数は連続関数の中でも珍しいものであることを意味している。至る所で連続であるが、どこにおいても微分可能ではない関数の最もよく知られた例は、ワイエルシュトラス関数である。