不連続性の分類

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不連続性の分類

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/03 00:03 UTC 版)

連続関数は数学およびその応用において非常に重要である。しかし、関数が全て連続というわけではない。ある関数がその定義域内のある点で連続でないとき、その関数は不連続性 (discontinuity) を有する。関数の不連続点全体の成す集合は離散集合の場合もあるし、稠密集合の場合もある。場合によっては定義域全体と同じとなるかもしれない。

本項目では、最も単純な実一変数で実数を値にとる函数の場合における不連続性の分類を述べる。

不連続性の分類

実軸上の点 x₀ の近傍で定義される実変数 x の実数値をとる函数 f が点 x = x₀ で不連続という場合を考える。便宜のため、

${\begin{aligned}L^{-}&:=\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0}-0),\\L^{+}&:=\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0}+0)\end{aligned}}$

例 1: 除去可能な不連続性

1. 函数

$f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\2-x&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}$

例 2: 跳躍不連続性

2. 函数

$f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\2-(x-1)^{2}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}$

例 3: 真性不連続性

3. 函数

$f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\{\frac {0.1}{x-1}}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}$

を考えれば、点 x₀ = 1 は真性不連続点である。真性不連続点であるためには、極限のどちらか一方が存在しないか無限大であればよい。なお、この例の関数を複素数変数に拡張しても、その不連続性は真性不連続性である。

関数の不連続点の集合

函数の連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり（G_δ-集合）である。また不連続点の全体は閉集合の可算個の合併（F_σ-集合）である。

単調関数の不連続点は高々可算である。これをフローダの定理という。

トマエ函数は、全ての有理数の点で不連続だが、全ての無理数の点で連続である。

ディリクレ函数として知られる、有理数全体の集合の指示函数は至る所不連続である。

関連項目

• 可除特異点
• 特異点 (数学)
• 連続的延長

参考文献

• Malik, S. C.; Arora, Savita (1992). Mathematical analysis, 2nd ed. New York: Wiley. ISBN 0470218584 

外部リンク

• Discontinuous - PlanetMath.org（英語）
• "Discontinuity" by Ed Pegg, Jr., The Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• Weisstein, Eric W. "Discontinuity". MathWorld (英語).