S が n-単体の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/11/09 20:09 UTC 版)
「角谷の不動点定理」の記事における「S が n-単体の場合」の解説
次元が 1 よりも大きい場合、角谷の定理を証明する上で最も簡単な物体は n-単体である。平たく言うと、n-単体とは高次元における三角形である。ある単体上で定義される集合値函数に対して角谷の定理を証明することは、区間に対して証明することと本質的に変わりはない。高次元の場合ならではの証明の難しさは、領域をより細かい部分片に分ける第一段階に現れる。 一次元の場合では区間を中心で分けたが、単体をより小さい部分単体に分ける上では重心細分（英語版）が用いられる。 一次元の場合は、端点が反対方向に動くという方法で初等的に半区間を選ぶことが出来たが、単体の場合はスペルナーの補題（英語版）として知られる組合せ論の結果が、適切な部分単体の存在を保証するために用いられる。 第一段階でこれらの変更が加えられれば、極限点を見つけそれが不動点であることを示す第二、第三段階は、一次元の場合とほとんど変わらずに証明することが出来る。
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