Hp に対するマルチンゲール
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/04 15:23 UTC 版)
「ハーディ空間」の記事における「Hp に対するマルチンゲール」の解説
(Mn)n≥0 をある確率空間 (Ω, Σ, P) 上の、σ-体の増加列 (Σn)n≥0 に関するマルチンゲールとする。簡単のために、Σ はその列 (Σn)n≥0 によって生成される σ-体と等しいものと仮定する。そのマルチンゲールの極大函数は、次で定義される。 M ∗ = sup n ≥ 0 | M n | . {\displaystyle M^{*}=\sup _{n\geq 0}\,|M_{n}|.} 1 ≤ p < ∞ とする。マルチンゲール (Mn)n≥0 は M* ∈ Lp のとき、マルチンゲール-Hp に属する。 M* ∈ Lp であるなら、マルチンゲール (Mn)n≥0 は Lp 内で有界であり、したがってドゥーブのマルチンゲール収束定理（英語版）によってほとんど確実にある函数 f に収束する。さらに優収束定理によって、Mn は Lp-ノルムにおいて f に収束するため、Mn は Σn 上での f の条件付き期待値として表現される。したがってマルチンゲール-Hp を、マルチンゲール M n = E ( f | Σ n ) {\displaystyle M_{n}=E{\bigl (}f|\Sigma _{n}{\bigr )}} がマルチンゲール-Hp に属するようなそれら f からなる Lp(Ω, Σ, P) の部分空間として認識することが出来る。 ドゥーブの極大不等式によると、マルチンゲール-Hp は 1 < p < ∞ のとき Lp(Ω, Σ, P) と一致する。興味深い空間として、双対がマルチンゲール-BMO であるようなマルチンゲール-H1が挙げられる (Garsia 1973)。 （p > 1 のときの）バークホルダー＝ガンディ不等式や、（p = 1 のときの）バージェス＝デービス不等式は、極大函数の Lp-ノルムを、マルチンゲールの自乗函数 S ( f ) = ( | M 0 | 2 + ∑ n = 0 ∞ | M n + 1 − M n | 2 ) 1 2 {\displaystyle S(f)=\left(|M_{0}|^{2}+\sum _{n=0}^{\infty }|M_{n+1}-M_{n}|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}} と関連付ける。マルチンゲール-Hp は、S(f)∈ Lp とすることで定義することが出来る (Garsia 1973)。 連続時間パラメータを伴うマルチンゲールもまた考慮することが出来る。古典的理論との直接的な関連は、複素平面内の複素ブラウン運動 (Bt) で、点 z = 0 を時間 t = 0 に出発するものを通じて得ることが出来る。τ を単位円への到達時刻とする。単位円板内の任意の正則函数 F に対して、 M t = F ( B t ∧ τ ) {\displaystyle M_{t}=F(B_{t\wedge \tau })} がマルチンゲール-Hp に属するマルチンゲールであるための必要十分条件は、F ∈ Hp である(Burkholder, Gundy & Silverstein 1971)。
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