二重平方数

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二重平方数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/07 13:47 UTC 版)

算術における四乗数（しじょうすう、よんじょうすう、英: bi­quadratic number; 複平方数^{[注 1]}）あるいは二重平方数^[1]とは、通常、自然数の四乗（fourth power）すなわち「平方の平方」 (bi­quadratic)

n⁴ = n³ × n = n × n³ = n² × n² = n × n × n × n

になっているような数 (forth power of n) を言う。図形数として、八胞体状に積み上げた点の数として表されるため、八胞体数（はちほうたいすう、英: tesseractic number）ともいえる^{[注 2]}。これは平方数を「四角数」、三乗数を「立方体数」（六面体数）と呼ぶことの延長である。

最小の四乗数は 1⁴ = 1 であり、四乗数は無数にある。小さい数から順に列記すると

1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, 14641, 20736, … （オンライン整数列大辞典の数列 A000583）

である。

広義では有理数あるいはより一般の環での「数」の四乗を考える場合もあり、その際は四乗元と呼ぶ方が誤解が少ない。

性質

四乗数 n⁴ は (n²)² と変形されるため全て平方数である。

一般に p を素数とすると p⁴ は 1, p, p², p³, p⁴ の5つの約数を持つ。例えば 2⁴ の約数は 1(=2⁰), 2(=2¹), 4(=2²), 8(=2³), 16(=2⁴) の5つである。逆に、約数をちょうど5つ持つ自然数は素数の四乗である。

日本語で用いられる一万、一億、一兆などの数詞が指す数は 10⁴ⁿ = (10ⁿ)⁴ より全て四乗数である。

四乗数の下2桁は、十進法では 00, 01, 16, 21, 25, 36, 41, 56, 61, 76, 81, 96 の12通りの内いずれかである。一般の記数法については後述する。

n番目までの四乗数の総和は S_n =${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{4}={\frac {1}{30}}n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}$ Portal:数・プロジェクト:数