1次持ち上げ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/10 16:16 UTC 版)
R を可換環、I をそのイデアル、 h ∈ R [ X ] {\displaystyle h\in R[X]} をR係数の1変数多項式で最高次の係数 α {\displaystyle \alpha } が法 I で可逆（ α {\displaystyle \alpha } の R / I {\displaystyle R/I} における像が R / I {\displaystyle R/I} の可逆元という意味）であるものとする。 そして何らかの正の整数 k に対して h ≡ α f g ( mod I k ) {\displaystyle h\equiv \alpha fg{\pmod {I^{k}}}} と因数分解でき、f とgはモニック多項式で法Iで互いに素だったとする。ここで、"互いに素"というのはある a , b ∈ R [ X ] {\displaystyle a,b\in R[X]} が存在して a f + b g ≡ 1 ( mod I ) {\textstyle af+bg\equiv 1{\pmod {I}}} という意味で使っている。このとき、多項式 δ f , δ g ∈ I k R [ X ] {\displaystyle \delta _{f},\delta _{g}\in I^{k}R[X]} であって deg δ f < deg f {\displaystyle \deg \delta _{f}<\deg f} かつ deg δ g < deg g {\displaystyle \deg \delta _{g}<\deg g} かつ次の式 h ≡ α ( f + δ f ) ( g + δ g ) ( mod I k + 1 ) {\displaystyle h\equiv \alpha (f+\delta _{f})(g+\delta _{g}){\pmod {I^{k+1}}}} が成り立つものが存在する。しかもこれらの条件が成り立つ δ f {\displaystyle \delta _{f}} と δ g {\displaystyle \delta _{g}} は法 I k + 1 R [ X ] {\displaystyle I^{k+1}R[X]} で一意的に定まる。 そして f + δ f {\displaystyle f+\delta _{f}} と g + δ g {\displaystyle g+\delta _{g}} はf と g が満たすベズーの等式を同様に満たす。つまり a ( f + δ f ) + b ( g + δ g ) ≡ 1 ( mod I ) {\displaystyle a(f+\delta _{f})+b(g+\delta _{g})\equiv 1{\pmod {I}}} が成り立つ。なぜ直前の主張からすぐにわかるこのことをあえて述べたかというと、k の値を１つ大きくして反復計算を進めるときに、これが次のステップでの前提条件が満たされていることを意味するからである。 次に示す証明は、 R / I {\displaystyle R/I} または I k / I k + 1 {\displaystyle I^{k}/I^{k+1}} を係数とする多項式だけを使って δ f {\displaystyle \delta _{f}} と δ g {\displaystyle \delta _{g}} を計算することによりなされている。 R = Z {\displaystyle R=\mathbb {Z} } で I = p Z {\displaystyle I=p\mathbb {Z} } の場合には、これは法p での剰余類だけを使って計算できることを意味する。 証明： 仮定から α {\displaystyle \alpha } は法 I で可逆である。したがって、ある β ∈ R {\displaystyle \beta \in R} と γ ∈ I R [ X ] {\displaystyle \gamma \in IR[X]} で α β = 1 − γ {\displaystyle \alpha \beta =1-\gamma } を満たすものが存在する。 多項式 δ h ∈ I k R [ X ] {\displaystyle \delta _{h}\in I^{k}R[X]} を、次数が deg h {\displaystyle \deg h} 未満で δ h ≡ h − α f g ( mod I k + 1 ) {\displaystyle \delta _{h}\equiv h-\alpha fg{\pmod {I^{k+1}}}} が成り立つものとする。 δ h = h − α f g {\displaystyle \delta _{h}=h-\alpha fg} と置いてもよいが、他のものを選んだ方が計算が簡単になることがある。例えば R = Z {\displaystyle R=\mathbb {Z} } で I = p Z {\displaystyle I=p\mathbb {Z} } の場合には、係数が区間 [ 0 , p − 1 ] {\displaystyle [0,p-1]} に入る整数係数の多項式 δ h ′ {\displaystyle \delta '_{h}} を使って δ h = p k δ h ′ {\displaystyle \delta _{h}=p^{k}\delta '_{h}} と表せるようなものを取ることができるので、こう取ったほうがよい。 g はモニックなので、多項式に対する除法の原理を a δ h {\displaystyle a\delta _{h}} とg に適用し、q と c で a δ h = q g + c {\displaystyle a\delta _{h}=qg+c} かつ deg c < deg g {\displaystyle \deg c<\deg g} となるものを見つけることができる。このq と c は I k R [ X ] {\displaystyle I^{k}R[X]} に入っている。同様に、 q ′ , d ∈ I k R [ X ] {\displaystyle q',d\in I^{k}R[X]} で b δ h = q ′ f + d {\displaystyle b\delta _{h}=q'f+d} かつ deg d < deg f {\displaystyle \deg d<\deg f} となるものを取る。 このとき q + q ′ ∈ I k + 1 R [ X ] {\displaystyle q+q'\in I^{k+1}R[X]} である。実際、まず f c + g d = a f δ h + b g δ h − f g ( q + q ′ ) ≡ δ h − f g ( q + q ′ ) ( mod I k + 1 ) {\displaystyle fc+gd=af\delta _{h}+bg\delta _{h}-fg(q+q')\equiv \delta _{h}-fg(q+q'){\pmod {I^{k+1}}}} が成り立っている。 f g {\displaystyle fg} はモニックなので、 f g ( q + q ′ ) {\displaystyle fg(q+q')} の法 I k + 1 {\displaystyle I^{k+1}} での次数が deg f g {\displaystyle \deg fg} の次数よりも小さくなるのは q + q ′ ∈ I k + 1 R [ X ] {\displaystyle q+q'\in I^{k+1}R[X]} のときだけである。 こうして、 I k + 1 {\displaystyle I^{k+1}} を法とする合同を考えることにより次の式 α ( f + β d ) ( g + β c ) − h ≡ α f g − h + α β ( f ( a δ h − q g ) + g ( b δ h − q ′ f ) ) ≡ δ h ( − 1 + α β ( a f + b g ) ) − α β f g ( q + q ′ ) ≡ 0 ( mod I k + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha (f+\beta d)&(g+\beta c)-h\\&\equiv \alpha fg-h+\alpha \beta (f(a\delta _{h}-qg)+g(b\delta _{h}-q'f))\\&\equiv \delta _{h}(-1+\alpha \beta (af+bg))-\alpha \beta fg(q+q')\\&\equiv 0{\pmod {I^{k+1}}}\end{aligned}}} が成り立つことがわかる。そして、 δ f = β d , δ g = β c {\displaystyle \delta _{f}=\beta d,\qquad \delta _{g}=\beta c} と置けば求めるものになっているので、存在が示せた。
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