＊弱位相の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/13 08:36 UTC 版)
一方、無限次元空間であってもノルムから定まる位相以外の位相に関しては閉単位球がコンパクトになる事もある： 定理 (バナッハ・アラオグルの定理) ― Kを R {\displaystyle \mathbb {R} } もしくは C {\displaystyle \mathbb {C} } とする。このときK上のノルム空間Vの双対空間V*に＊弱位相を入れると、(Vが無限次元であっても)V*の閉単位球はコンパクトである。 ここでノルム空間Vの双対空間V*はV上のK値連続線形写像全体を関数としての和と定数倍によりベクトル空間とみなしたものであり、＊弱位相とはx ∈ Vに対し、 μ x : α ∈ V ∗ ↦ α ( x ) ∈ K {\displaystyle \mu _{x}\colon \alpha \in V^{*}\mapsto \alpha (x)\in K} とするとき、μxが全て連続になるV*上の最弱の位相の事である。なおV*は作用素ノルムによりノルム空間とみなせ、上記の定理で言う「閉単位球」はこのノルムに関する閉単位球の事である。 ＊弱位相はハウスドルフ性を満たす事が知られており、コンパクトな空間の閉部分集合はコンパクトなので、以下の系が成立する： 系 ― V*に＊弱位相を入れた空間の有界閉集合はコンパクト なお、Vが再帰的であればV上の弱位相に関しても同様な事が成立する事が知られているが、再帰的でない場合には反例がある事が知られている。 注意しなければならないのは、＊弱位相における有界閉集合には内点が無く、有界閉集合上の点は必ず境界点になる事である。これはすなわち、たとえ閉単位球がコンパクトであっても＊弱位相をいれたV*が後述する局所コンパクトにはなっていない事を意味する。
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