鞍点法による導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/19 22:01 UTC 版)
「スターリングの近似」の記事における「鞍点法による導出」の解説
スターリングの公式は鞍点法の好適例とされることが多いが、実際に複素平面全体（負の実数を除く）で漸近近似が成立することを鞍点法によって示すのは困難であるから、ここでは z {\displaystyle z} を正の実数に限定する。ガンマ関数は t = z ( 1 + u ) {\displaystyle t=z(1+u)} の置換により Γ ( z + 1 ) = ∫ 0 ∞ t z e − t d t = ∫ − 1 ∞ z z ( 1 + u ) z e − z − z u z d u = z z + 1 e − z ∫ − 1 ∞ e − z { u − log ( 1 + u ) } d u = z z + 1 e − z ( ∫ − 1 − ε e − z { u − log ( 1 + u ) } d u + ∫ − ε ε e − z { u − log ( 1 + u ) } d u + ∫ ε ∞ e − z { u − log ( 1 + u ) } d u ) ( ε ≪ 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}dt\\&=\int _{-1}^{\infty }z^{z}(1+u)^{z}e^{-z-zu}zdu\\&=z^{z+1}e^{-z}\int _{-1}^{\infty }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du\\&=z^{z+1}e^{-z}\left(\int _{-1}^{-\varepsilon }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du+\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }{e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du}+\int _{\varepsilon }^{\infty }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du\right)\qquad (\varepsilon \ll 1)\\\end{aligned}}} となるが、 z {\displaystyle z} が十分に大きければ u = 0 {\displaystyle u=0} の付近が支配的であるから Γ ( z + 1 ) ≈ z z + 1 e − z ∫ − ε ε e − z { u − log ( 1 + u ) } d u ≈ z z + 1 e − z ∫ − ε ε e − z u 2 2 d u ≈ z z + 1 e − z ∫ − ∞ ∞ e − z u 2 2 d u {\displaystyle \Gamma (z+1)\approx z^{z+1}e^{-z}\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du\approx z^{z+1}e^{-z}\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}du\approx z^{z+1}e^{-z}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}du} という近似が許され、ガウス積分により Γ ( z + 1 ) ∼ z z + 1 e − z 2 π z = 2 π z ( z e ) z {\displaystyle \Gamma (z+1)\sim z^{z+1}e^{-z}{\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}={\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}} を得る。 ε = z − 1 3 {\displaystyle \varepsilon =z^{-{\tfrac {1}{3}}}} として、近似の誤差は | ∫ − 1 − ε e − z { u − log ( 1 + u ) } d u | ≤ 1 ε ∫ − 1 − ε | − u ( 1 + u ) e − z { u − log ( 1 + u ) } | d u = 1 ε z [ e − z { u − log ( 1 + u ) } ] − 1 − ε = 1 ε z { e − z ( ε 2 2 + O ( ε 3 ) ) } − 0 ≈ z 2 3 e − z 1 / 3 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{-1}^{-\varepsilon }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du\right|&\leq {\frac {1}{\varepsilon }}\int _{-1}^{-\varepsilon }\left|{\frac {-u}{(1+u)}}e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}\right|du={\frac {1}{\varepsilon z}}\left[e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}\right]_{-1}^{-\varepsilon }\\&={\frac {1}{\varepsilon z}}\left\{e^{-z\left({\tfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}+O(\varepsilon ^{3})\right)}\right\}-0\approx z^{\tfrac {2}{3}}e^{-{\tfrac {z^{1/3}}{2}}}\end{aligned}}} | ∫ ε ∞ e − z { u − log ( 1 + u ) } d u | ≤ 2 ε ∫ ε ∞ | 2 u ( 1 + u ) ε e − z { u − log ( 1 + u ) } | d u = 2 ε z [ − e − z { u − log ( 1 + u ) } ] ε ∞ = 0 − 2 ε z { e − z ( ε 2 2 + O ( ε 3 ) ) } ≈ 2 z 2 3 e − z 1 / 3 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{\varepsilon }^{\infty }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du\right|&\leq {\frac {2}{\varepsilon }}\int _{\varepsilon }^{\infty }\left|{\frac {2u}{(1+u)\varepsilon }}e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}\right|du={\frac {2}{\varepsilon z}}\left[-e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}\right]_{\varepsilon }^{\infty }\\&=0-{\frac {2}{\varepsilon z}}\left\{e^{-z\left({\tfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}+O(\varepsilon ^{3})\right)}\right\}\approx 2z^{\tfrac {2}{3}}e^{-{\tfrac {z^{1/3}}{2}}}\end{aligned}}} ∫ − ε ε e − z { u − log ( 1 + u ) } d u = ∫ − ε ε e − z ( u 2 2 − u 3 3 + O ( u 4 ) ) d u = ∫ − ε ε e − z u 2 2 e z ( u 3 3 + O ( u 4 ) ) d u = ∫ − ε ε e − z u 2 2 ( 1 + z u 3 3 + z O ( u 4 ) ) d u = ∫ − ε ε e − z u 2 2 ( 1 + z O ( u 4 ) ) d u {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du&=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-z\left({\tfrac {u^{2}}{2}}-{\tfrac {u^{3}}{3}}+O(u^{4})\right)}du=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}e^{z\left({\tfrac {u^{3}}{3}}+O(u^{4})\right)}du\\&=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}\left(1+{\frac {zu^{3}}{3}}+zO(u^{4})\right)du\\&=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}\left(1+zO(u^{4})\right)du\\\end{aligned}}} | ∫ − ε ε e − z { u − log ( 1 + u ) } d u − ∫ − ε ε e − z u 2 2 d u | ≤ | z O ( ε 4 ) ∫ − ε ε e − z u 2 2 d u | = | O ( z − 1 3 ) ∫ − ε ε e − z u 2 2 d u | {\displaystyle \left|\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du-\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}du\right|\leq \left|zO(\varepsilon ^{4})\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}du\right|=\left|O(z^{-{\tfrac {1}{3}}})\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}du\right|} であり z 2 3 e − z 1 / 3 2 ≪ z − 1 2 ( z → ∞ ) {\displaystyle z^{\tfrac {2}{3}}e^{-{\tfrac {z^{1/3}}{2}}}\ll z^{-{\tfrac {1}{2}}}\qquad (z\to \infty )} であるから Γ ( z + 1 ) = 2 π z ( z e ) z ( 1 + O ( z − 1 3 ) ) {\displaystyle \Gamma (z+1)={\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}\left(1+O(z^{-{\tfrac {1}{3}}})\right)} を得る。これは lim z → ∞ Γ ( z + 1 ) 2 π z ( z e ) z = 1 ( | arg z | < π ) {\displaystyle \lim _{z\to \infty }{\frac {\Gamma (z+1)}{{\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}}}=1\qquad (|\arg z|<\pi )} を示すに十分である。ただし、実際の誤差は O ( z − 1 ) {\displaystyle O(z^{-1})} であるが、それを鞍点法で示すのは困難である。
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