静水圧平衡と順圧
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/08 23:18 UTC 版)
保存力のもとで圧縮性流体が静止状態になるためには、順圧性が必要条件である。 以下、流体にかかる外力と圧力勾配が釣り合う場合（静水圧平衡）を考える。力の釣り合いの式は − 1 ρ ∇ p + f = 0 {\displaystyle -{1 \over \rho }\nabla p+{\boldsymbol {f}}=0} （ p：圧力、ρ：密度、f ：単位質量あたりの外力） である。ここで、重力や遠心力のように、外力が保存力の場合を考える（保存力のポテンシャルをΩとする）。 − 1 ρ ∇ p − ∇ Ω = 0 {\displaystyle -{1 \over \rho }\nabla p-\nabla \Omega =0} 両辺の回転をとると rot grad Ω = 0 {\displaystyle \operatorname {rot} \operatorname {grad} \Omega =0} だから、 0 = ∇ × ( − 1 ρ ∇ p ) = 1 ρ 2 ( ∇ ρ × ∇ p ) ∴ ∇ ρ ∥ ∇ p {\displaystyle {\begin{aligned}0=\nabla \times \left(-{1 \over \rho }\nabla p\right)={1 \over \rho ^{2}}\left(\nabla \rho \times \nabla p\right)\\\therefore \nabla \rho \parallel \nabla p\end{aligned}}} となる。傾き∇f は f の等値面に垂直だから、∇ρ と ∇p との平行性は ρ と p の等値面の一致、すなわち順圧性を意味する。 順圧性が成り立つなら、密度が圧力の関数（ρ=ρ(p)）になるので、単位質量あたりの圧力勾配が − 1 ρ ∇ p = − ∇ ∫ d p ρ {\displaystyle -{1 \over \rho }\nabla p=-\nabla \int {\mathrm {d} p \over \rho }} と表せる。この性質により、非粘性バロトロピック流体ではベルヌーイの定理やケルビンの渦定理が成立する。
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