階乗の逆数和
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/18 08:10 UTC 版)
階乗の逆数の総和は収束級数 ∑ n = 0 ∞ 1 n ! = 1 1 + 1 1 + 1 2 + 1 6 + 1 24 + 1 120 + ⋯ = e {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\dotsb =e} を与える（ネイピア数を参照）。この和は無理数となるけれども、階乗に適当な正整数を掛けて和が有理数となるようにすることができる。例えば、 ∑ n = 0 ∞ 1 ( n + 2 ) n ! = 1 2 + 1 3 + 1 8 + 1 30 + 1 144 + ⋯ = 1. {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{\left(n+2\right)n!}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{144}}+\dotsb =1.} この級数の値が 1 となることを見るには、その部分和が 1 − 1/(n+2)! であることを確認すればよい。したがって、階乗数の全体は無理列（英語版）を成さない。
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