階乗の近似
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/18 08:10 UTC 版)
展開の係数 annan0 .mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1⁄12 1 1⁄30 2 53⁄210 3 195⁄371 4 22999⁄22737 5 29944523⁄19733142 6 109535241009⁄48264275462 大きな値に対する階乗の値の近似をディガンマ函数の積分を通じて連分数表示を用いて記述できる。この方法はスティルチェスによるもので、z! = exp(P(z)) と書けば P(z) は P ( z ) = p ( z ) + log ( 2 π ) / 2 − z + ( z + 1 2 ) log ( z ) {\displaystyle P(z)=p(z)+\log(2\pi )/2-z+\left(z+{\frac {1}{2}}\right)\log(z)} で、スティルチェスはこの第一項 p(z) の連分数展開 p ( z ) = a 0 z + a 1 z + a 2 z + a 3 z + ⋱ {\displaystyle p(z)={\cfrac {a_{0}}{z+{\cfrac {a_{1}}{z+{\cfrac {a_{2}}{z+{\cfrac {a_{3}}{z+\ddots }}}}}}}}} を与えた。 さて、任意の複素数 z ≠ 0 に対して log(z!) = P(z) あるいは log(Γ(z + 1)) = P(z) とするのは誤りであり[要出典]、実際には実軸の近くの特定の範囲の z でしか成り立たない（一方 |ℑ(Γ(z + 1))| < π である。引数の実部は大きいほど、虚部はより小さくなければならない。しかし逆の関係式 z! = exp(P(z)) は原点を除くガウス平面の全域で有効である。ただし実軸の負の部分では収束性は弱くなる[要出典]（特異点の周辺ではどのような近似もよい収束性を得ることが難しい）。一方、|ℑ(z)| > 2 または ℜ(z) > 2 の範囲では上記の六つの係数は double 精度の複素数に対してその階乗の近似値を得るのに十分である。より高い精度でより多くの係数を計算するには rational QD-scheme (H. Rutishauser's QD algorithm)を用いる。
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