関連概念および定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/15 18:57 UTC 版)
A からそれ自身への全単射全体の集合を S(A) とすると、写像の合成は結合法則を満たし、恒等写像を単位元として、任意の全単射が逆写像を逆元に持つから、これは群をなす。特に A が n 個の元からなる有限集合の場合の S(A) を n 次対称群という。 f: A → B, g: C → D の合成 g ∘ f: A → D が定義可能で全単射であるとき、g が全射であることおよび f が単射であることが容易に確かめられるが、このことの逆も次の意味で成り立つ。 f: A → B が全射であるとき、（選択公理を仮定すると）B から A への写像 r が存在して右可逆性 f ∘ r = idB が成り立つ。この r のことを、f の右逆写像という。 f: A → B （A ≠ ∅）が単射であるとき、B から A への写像 l が存在して左可逆性 l ∘ f = idA が成り立つ。この l のことを、f の左逆写像という。 この二つの事実には、正確に逆が成り立つ。従って、全射と単射を次のように定義することもできる； 写像 f が右逆写像を持つとき、f を全射といい、f が左逆写像を持つとき、f を単射という。 「モノ射」および「エピ射」も参照
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