左逆写像
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/06 14:32 UTC 版)
写像 f: X → Y に対し、f の左逆写像 (left inverse) あるいは引込み (retract) とは、 g ∘ f = id X {\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}} を満たす写像 g: Y → X のことをいう。つまり、X の各元 x に対して g は f ( x ) = y ⟹ g ( y ) = x {\displaystyle f(x)=y\implies g(y)=x} を満たす。したがって g は f の値域上では f の逆写像と一致しなければならないが、値域に入らない Y の元に対してはどのような値をとろうとも支障ない。写像 f が左逆写像をもつならば f は単射であることが次のように証明できる。写像 f: X → Y に対し、 g: Y → X を f の左逆写像とする。 x, y ∈ X が f(x) = f(y) を満たすとすると、 g(f(x)) = g(f(y)) から idX(x) = idX(y) なので、 x = y. したがって、 f は単射である。 逆に写像 f: X → Y が（空写像ではない）単射ならば、適当な x0 ∈ X を選んで、次のように左逆写像 g: Y → X を構成することができる。 g ( y ) = { x , if ∃ x ∈ X [ f ( x ) = y ] x 0 , else {\displaystyle g(y)={\begin{cases}x,&{\text{if }}\exists x\in X[f(x)=y]\\x_{0},&{\text{else}}\end{cases}}} このように古典数学では任意の単射 f は左逆写像を持つことが必要となるが、@media screen{.mw-parser-output .fix-domain{border-bottom:dashed 1px}}構成的数学においては偽となり得る。例えば、二元集合から実数直線への包含写像 {0,1} → R の左逆写像は、実数直線から二点集合 {0,1} への引込みを与えるとき既約性（英語版）に反する[疑問点 – ノート]。
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