距離の誘導する一様構造・粗構造
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/05 19:05 UTC 版)
「距離空間」の記事における「距離の誘導する一様構造・粗構造」の解説
X を距離空間、Uを X×X の部分集合とする。ある正の数 ε が存在して X の対角成分の近傍 Δ ε := { ( x , y ) ∈ X × X ∣ d ( x , y ) < ε } {\displaystyle \Delta _{\varepsilon }:=\{(x,y)\in X\times X\mid d(x,y)<\varepsilon \}} が U に含まれるとき、 Uを X の一様近縁という。距離空間の一様近縁全体は一様構造を定める。これを距離から定まる自然な一様構造という。同値な距離からはおなじ一様構造が得られるので、位相構造など一様構造にのみよる概念は同値な距離に対して同じものを与える。 X を距離空間、Uを X×X の部分集合とする。ある正の数 ε が存在して X の対角成分の近傍 Δ ε := { ( x , y ) ∈ X × X ∣ d ( x , y ) < ε } {\displaystyle \Delta _{\varepsilon }:=\{(x,y)\in X\times X\mid d(x,y)<\varepsilon \}} が U を含むとき、 Uを X の有界近縁という。距離空間の有界近縁全体は粗構造を定める。これを距離から定まる有界粗構造という。同値な距離からはおなじ粗構造が得られるので、有界性など粗構造にのみよる概念は同値な距離に対して同じものを与える。 一般の一様空間は距離函数の値が小さい時の距離の振る舞いの抽象化であり、また一般の粗空間は距離函数の値が大きい時の距離の振る舞いを抽象化するものである。
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