超積と超準モデル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/14 14:14 UTC 版)
I を無限集合、U を I 上の自由な超フィルター、{Mi}i∈I をある構造に関する I で添字付けられたモデルの族とする。このとき、∏i∈I Mi を同値関係 (ai)i∈I ∼ (bi)i∈I ⇔ {i ∈ I : ai = bi} ∈ U で割った商空間 ∏i∈I Mi/U 上には自然に構造が入る。これを超積という。これは U を I 上の測度と同一視して見たとき、殆どいたるところ一致する元を同一視した空間である。 特に Mi が常に一つのモデル M を取るとき、MI/U とかき M の超フィルター U による超冪とよばれる。このとき MI/U は M の初等拡大になっている。特に M がある構造に関する標準モデル（英: standard model）のとき、MI/U はその構造に関する超準モデル（英: non-standard model）となっている。例えば実数の超準モデルである超実数は実数と様々な性質を共有し実数上の関係や関数は超実数上の関係や関数として自然に拡張できるが完備性などの様々な重要な性質については異なっている。（超積、算術の超準モデル等を参照）
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