詳細な解析
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/10 08:13 UTC 版)
「ファブリ・ペロー干渉計」の記事における「詳細な解析」の解説
右図に2つの透過光線、T0 はそのままエタロンを透過する光線、T1 は2回反射したのち透過する光線を示す。 光の振幅は1回反射されるごとに √R 倍、また1回透過するごとに √R 倍に減る。吸収は無いものと仮定すると、エネルギー保存則から T + R = 1 が要請される。以下では、 n はエタロン内部の屈折率、 n0 はエタロン外部の屈折率とする。また、 n > n0 を満たすものとする。点 a における入射光の振幅を 1 とし、光の振幅をフェーザ表示を用いて表わすものとする。すると、点 b における透過光の振幅は以下のようになる。 t 0 = T e i k ℓ / cos θ {\displaystyle t_{0}=T\,e^{ik\ell /\cos \theta }} ここで、エタロン内部における波数 k = 2 π n / λ {\displaystyle k=2\pi n/\lambda } を用いた。 λは真空中での光の波長である。同様に、点cでの透過光の振幅は以下のようになる。 t 1 ′ = T R e 3 i k ℓ / cos θ {\displaystyle t'_{1}=TR\,e^{3ik\ell /\cos \theta }} 2つの光線の方向に垂直な線上における振幅を足し合わせれば、透過光の全体の振幅が得られる。よって、点bにおける振幅 t0 と、点cにおける振幅 t′1 から位相が k 0 ℓ 0 {\displaystyle k_{0}\ell _{0}} （ k 0 = 2 π n 0 / λ {\displaystyle k_{0}=2\pi n_{0}/\lambda } はエタロン外部における波数）だけ遅れた振幅を足し合わせることになる。つまり、次の振幅を t0 と足しあわせる。 t 1 = T R e 3 i k ℓ / cos θ − i k 0 ℓ 0 {\displaystyle t_{1}=TR\,e^{3ik\ell /\cos \theta -ik_{0}\ell _{0}}} ここで ℓ0 は次のように得られる。 ℓ 0 = 2 ℓ tan θ sin θ 0 {\displaystyle \ell _{0}=2\ell \tan \theta \sin \theta _{0}\,} この2つの光線の間の位相差は δ = 2 k ℓ cos θ − k 0 ℓ 0 {\displaystyle \delta ={2k\ell \over \cos \theta }-k_{0}\ell _{0}\,} θ と θ0 間の関係はスネルの法則により n sin θ = n 0 sin θ 0 {\displaystyle n\sin \theta =n_{0}\sin \theta _{0}\,} よって、位相差は次のように書ける。 δ = 2 k ℓ cos θ {\displaystyle \delta =2k\ell \,\cos \theta \,} ここまでにみてきた係数をくりかえし掛け合わせれば、m次の透過光線の振幅は以下のように得られる。 t m = T R m e i m δ {\displaystyle t_{m}=TR^{m}e^{im\delta }\,} よって、透過光全体の振幅はこれらを全て足し上げて得られ、以下のようになる。 t = ∑ m = 0 ∞ t m = T ∑ m = 0 ∞ R m e i m δ {\displaystyle t=\sum _{m=0}^{\infty }t_{m}=T\sum _{m=0}^{\infty }R^{m}\,e^{im\delta }} 幾何級数を解くと、さらに次のように書き下される。 t = T 1 − R e i δ {\displaystyle t={\frac {T}{1-Re^{i\delta }}}} . 透過光の強度は t とその複素共役を掛け合せれば得られる。入射光の振幅を1としたので、透過係数は以下のように得られる。 T e = t t ∗ = T 2 1 + R 2 − 2 R cos δ {\displaystyle T_{e}=tt^{*}={\frac {T^{2}}{1+R^{2}-2R\cos \delta }}} キャビティが非対称の場合、つまり2つの反射面の反射率が異なる場合は次のように一般化される。 T e = T 1 T 2 1 + R 1 R 2 − 2 R 1 R 2 cos δ {\displaystyle T_{e}={\frac {T_{1}T_{2}}{1+R_{1}R_{2}-2{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\cos \delta }}}
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