自由境界の正則性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/03 21:52 UTC 版)
楕円型偏微分方程式の理論においては、いくつかの関数解析的議論が用いられることで、理にかなって簡単な形状の微分方程式については、その弱解の存在が示される。しかし、そのような弱解は、望んだよりも少ない階数の導関数を持つ関数の空間に含まれることがある：例えば、ポアソン問題に対しては、H1に属する弱解の存在は簡単に主張できるが、その解は二階微分を持たないこともあり得る。そのとき、その弱解が実際に十分正則であることを示すための、いくつかの微積分的な評価を適用できる。 自由境界問題に対しては、二つの理由から、この問題はより注意すべきものとなる。一つ目の理由として、解は自由境界から離れた任意の近傍においては解析的であるかもしれないが、その自由境界を超える際に不連続な導関数を持つことがしばしばある、という点が挙げられる。二つ目の理由として、自由境界それ自身の正則性を示さなければならない、という点が挙げられる。例えば、ステファン問題に対しては、自由境界は C1/2 曲面である。
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