終結定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/05 05:30 UTC 版)
類体論は、有限次アーベル拡大L/Kに対してイデアルのノルムの成す群N𝔪(L/K)にP𝔪を乗じた群、つまり拡大に対する合同群H𝔪(L/K)を考えることでアーベル体に対して深い理解をもたらした。しかし、この手法は非アーベル拡大には通じない。このことを端的に示すのが次の終結定理である。 終結定理 L/K を任意の有限次拡大とする。このとき、この拡大に対する合同群 H𝔪(L/K) は L に含まれる最大アーベル拡大に対する合同群に等しい。 言い換えると、体拡大に対する合同群からは、含まれているアーベル拡大についての情報しか得られない。類体論に主要な貢献をなした高木は、この定理を提示したのち、「合同類別を以てしては、その統制力は直接には k 上の「アアベル」体以上には及び得ない。それ以上、類体論の拡張は将来の発展にまたねばならない」という言葉で自著『代数的整数論 : 一般論及類体論』を締めくくった。その後の発展については#類体論の一般化参照。
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